Problème d'Itzkowitz, propriété de Namioka et espaces Ck(X)

Itzkowitz's problem, property of Namioka and spaces Ck(X)

• Auteur / Autrice : Aïcha Barèche
• Direction : Ahmed Bouziad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Topologie
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Rouen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces topologiques

Groupes topologiques

Mots clés libres

Problème d'Itzkowitz

Propriété de Namioka

Espaces Ck(X)

Résumé

La thèse est composée de trois parties indépendantes. Dans la première partie, nous abordons le problème d'Itzkowitz dont le but est de savoir si pour tout groupe topologique, l'égalité des classes des fonctions réelles bornées uniformément continues sur G à gauche et à droite entraîne l'égalité des uniformités gauche et droite. Nous proposons une solution de ce problème pour un groupe topologique d'exposant fini. Plus précisément, la démonstration présentée concerne tout groupe G pour lequel la restriction de la fonction øp : g E G → gp E G est uniformément continue à gauche ou à droite sur un ouvert non vide U C G (pour au moins un entier p ≥ 2). Plusieurs conséquences sont tirées de ce résultat, en particulier, le problème est résolu positivement pour tout le groupe de Baire périodique. En outre, nous concluons que tout groupe Roelcke précompact et donnons à la fin un exemple d'un groupe non SIN d'exposant 4. La deuxième partie concerne le problème de l'existence de points de continuité pour une application séparément continue définie sur le produit de deux espaces topologiques. Plus précisément, étant données une application séparément continue ƒ : X x K → R et une partie B C K, nous étudions l'existence d'une partie R résiduelle dans X telle que ƒ soit jointement continue en tout point de R x B. Pour cela, nous adoptons une approche globale qui permet d'améliorer substantiellement la plupart des résultats obtenus précédemment avec démonstrations souvent unifiées. Nous considérons le théorème de Troallic et Calbrix dans une configuration plus générale et améliorons les résultats de Moors, Talagrand (y compris, la variante K - analytique de son théorème) et Kenderov-Moors. Nous apportons une modification fonctionnelle au jeu de Christensen-Saint Raymond ce qui permet d'élargir la classe des espaces de Namioka ; en particulier nous montrons que tout espace pseudocompact est de Namioka. Dans la dernière partie, nous étudions la propriété o-Malykhin sur l'espace fonctionnel Ck(X) pour un espace topologique X complêtement régulier. Nous établissons l'équivalence entre la propriété o-Malykhin de l'espace Ck(X) et une propriété que nous appellerons WWMOP, concernant l'espace X. Nous proposons également une caractérisation de la propriété o-Malykhin de l'espace Ck(X) à l'aide d'un jeu topologique défini sur l'espace X inspiré par le jeu de Gruenhage et Ma. Finalement, nous donnons quelques résultats et exemples liés à la propriété o-Malykhin.

My thesis comprises three different subjects. The first "Itzkowitz's problem" consists in studying the equivalence between SIN and FSIN properties in a topological group, where SIN property means the identity of left and right uniformities on a topological group. However, FSIN property says every bounded left uniformly continuous real-valued function on a topological group is right uniformly continuous on that group. Namioka's property. In this problem, we are interested in the study of the existence of points of joint continuity for a real separately continuous map defined on the product of two topological spaces. In last subject, we study the property said o-Malykhin on the functional space Ck(X), when X is a completely regular topological space.