Thèse soutenue

Sur les lois de diffusions et de modèles financiers avec coefficients non globalement réguliers
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Auteur / Autrice : Stefano De Marco
Direction : Vlad Bally
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Date : Soutenance le 23/11/2010
Etablissement(s) : Paris Est en cotutelle avec Scuola normale superiore (Pise, Italie)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Jury : Président / Présidente : Stefano Marmi
Examinateurs / Examinatrices : Vlad Bally, Maurizio Pratelli, Giorgio Letta, Claude Martini
Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Gobet, Arturo Kohatsu-Higa

Résumé

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Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité