Estimations de satisfaisabilité

par Thomas Hugel

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Yacine Boufkhad et de Michel Habib.

Soutenue en 2010

à Paris 7 .

mots clés

• Probabilités
• Complexité de calcul (informatique)
• Algorithmes
• Optimisation combinatoire
• Optimisation mathématique

Résumé

Le problème de satisfaisabilité booléenne 3-SAT est connu pour présenter un phénomène de seuil en fonction du quotient entre le nombre de clauses et le nombre de variables. Nous donnons des estimations de la valeur de ce seuil au moyen de méthodes combinatoires et probabilistes: la méthode du premier moment et la méthode du second moment. Ces méthodes mettent enjeu des problèmes d'optimisation sous contraintes et nous amènent à employer de façon intensive la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous mettons en œuvre une forme pondérée de la méthode du premier moment sur les affectations partielles valides de Maneva ainsi que des variantes. Cela nous conduit à élaborer une pondération générale pour les problèmes de satisfaction de contraintes qui soit compatible avec la méthode du premier moment. Cette pondération est constituée d'une graine et d'un répartiteur, et nous permet d'obtenir une pondération des affectations partielles valides meilleure que celle de Maneva. Nous comparons aussi dans certains cas les performances de la pondération et de l'orientation de l'espace des solutions des problèmes de satisfaction de contraintes relativement à la méthode du premier moment. Nous développons la première sélection non uniforme de solutions pour majorer le seuil de 3-SAT et nous montrons sa supériorité sur ses prédécesseurs. Nous construisons un cadre général pour appliquer la méthode du second moment à k-SAT et nous discutons des conditions qui la font fonctionner. Nous faisons notamment fonctionner la méthode du second moment sur les solutions booléennes et sur les impliquants. Nous étendons cela au modèle distributionnel de k-SAT.

Titre traduit

Satisfiability Estimations

Résumé

The boolean satisfiability problem 3-SAT is known to exhibit a threshold phenomenon with respect to the clauses to variables ratio. We give some estimations of the location of this threshold through combinatorial and probabilistic methods: the First Moment Method and the Second Moment Method. These methods involve constrained optimization and lead us to extensively use the Lagrange multipliers method. We implement a weighted form of the First Moment Method on Maneva's valid partial assignments as well as some variants. That leads us to design a general weighting for Constraint Satisfaction Problems compilant with the requirements of the First Moment Method. This weighting is made up of a seed and a dispatcher, and yields as a by-product a better weighting System on valid partial assignments than Maneva's. We also compare in some cases the performances of weighting and ordering the solutions space of Constraint Satisfaction Problems with respect to the First Moment Method. We exhibit the very first non-uniform selection of solutions for upper-bounding the threshold of 3-SAT and show that it is better than ail previous selection methods. We give a general framework implementing the Second Moment Method on k-SAT and discuss the conditions making the Second Moment Method work in this framework. As applications, we make the Second Moment Method work on boolean solutions and implicants. We extend this to the distributional model of k-SAT.