Modèles algébriques et algorithmes pour la formalisation mathématique de structures musicales

par Emmanuel Amiot

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Carlos Agón.

Soutenue en 2010

à Paris 6 .

mots clés

• Musique et mathématiques
• Mesure et rythme (musique) -- Modèles mathématiques
• Fourier, Transformations de

Résumé

Cette thèse sur travaux est fondée sur cinq articles, sélectionnés tant pour leur intérêt que pour leur représentativité. Les deux premiers traitent des canons rythmiques, un sujet riche, d'origine musicale, lié à de nombreux problèmes de mathématique, de combinatoire, d'algorithmique et même d'algèbre fondamentale (théorie de Galois). Ces articles prêtent une attention particulière à l'étude de la conjecture de Fuglede, ou conjecture spectrale. Le plus ancien traite de propriétés algébriques et combinatoires générales, mettant en avant l'importance du concept (musical) de "canons de Vuza". Le plus récent met en œuvre un algorithme original pour énumérer tous les canons de Vuza de période 120, ce qui contribue à préciser le domaine de validité de la conjecture de Fuglede (ainsi que de quelques autres). Deux autres articles traitent d'applications à des structures musicales fondamentales de la transformée de Fourier discrète : cette dernière permet en effet de classifier élégamment un certain nombre de gammes et d'accords remarquables. Le premier est une synthèse sur les gammes qui maximisent certains coefficients de Fourier, le second une surprenante application à l'archéologie musicale, permettant de comparer de façon pertinente différents tempéraments (i. E. Façons d'accorder un instrument). Cela permet en particulier de confirmer que le tempérament proposé par Bradley Lehman comme étant celui qu'aurait utilisé J. S. Bach jouit de propriétés remarquablement proches de celles que souhaitait le grand compositeur. Le dernier article présenté traite d'un sujet original, les mélodies auto-similaires. Cette propriété d'auto-similarité, mieux connue dans d'autres contextes, se retrouve aussi bien chez Scarlatti, Mozart ou Beethoven que Glen Miller ou des compositeurs contemporains, et tout particulièrement Tom Johnson qui les a mises en lumière. La synthèse ci-jointe vise à replacer ces travaux et à expliciter leur rôle dans le contexte de la recherche contemporaine en Mathématiques et Musique. L' auteur a été amené à utiliser des outils algébriques élaborés afin de mieux modéliser ces problèmes, tous d'origine musicale. Sa démarche s'avère ainsi indissociable des sciences de l'informatique, sous leur double facette d'expérimentation et d'implémentation de logiciels dédiés à l'analyse et à la composition musicale.

Titre traduit

Algebraic algorithms and models for a mathematical formalization of musical structures and processes

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