Approximation adaptative et anisotrope par éléments finis : théorie et algorithmes

par Jean-Marie Mirebeau

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Albert Cohen.

Soutenue en 2010

à Paris 6 .

mots clés

• Calcul adaptatif
• Approximation, Théorie de l'
• Interpolation (mathématiques)
• Algorithmes

Résumé

L'adaptation de maillage pour l'approximation des fonctions par éléments finis permet d'adapter localement la résolution en la raffinant dans les lieux de variations rapides de la fonction. Cette méthode intervient dans de nombreux domaines du calcul scientifique. L'utilisation de triangles anisotropes permet d'améliorer l'efficacité du maillage en introduisant des triangles longs et fins épousant notamment les directions des courbes de discontinuité. Etant donnée une norme d'intérêt et une fonction f à approcher, nous formulons le problème de l'adaptation optimale de maillage, comme la minimisation de l'erreur d'approximation par éléments finis de degré k donné parmi toutes les triangulations (potentiellement anisotropes) de cardinalité donnée N du domaine de définition de f. Nous étudions ce problème sous l'angle des quatre questions ci dessous: I. Comment l'erreur d'approximation se comporte-t-elle dans le régime asymptotique où le nombre N de triangles tend vers l'infini, lorsque f est une fonction suffisamment régulière? II. Quelles classes de fonctions gouvernent la vitesse de décroissance de l'erreur d'approximation lorsque N augmente, et sont en ce sens naturellement liées au problème d'adaptation optimale de maillage? III. Ce problème d'optimisation, qui porte sur les triangulations de cardinalité donnée N, peut-il être remplacé par un problème équivalent portant sur un objet continu? IV. Est-il possible de construire une suite quasi-optimale de triangulations en utilisant une procédure hiérarchique de raffinement?

Titre traduit

Adaptative and anisotropic finite element approximation : theory and algorithms

Résumé

Mesh adaption procedures for finite element approximation allows one to adapt the resolution, by local refinement in the regions of strong variation of the function of interest. This procedure plays a key role in numerous applications of scientific computing. The use of anisotropic triangles allows to improve the efficiency of the procedure by introducing long and thin triangles that fit in particular the directions of the possible curves of discontinuity. Given a norm X of interest and a function f to be approximated, we formulate the problem of optimal mesh adaptation, as minimizing the approximation error over all (possibly anisotropic) triangulations of prescribed cardinality. We address the four following questions related to this problem: I. How does the approximation error behaves in the asymptotic regime when the number of triangles N tends to infinity, when f is a smooth function ? II. Which classes of functions govern the rate of decay of the approximation error as N grows, and are in that sense naturally tied to the problem of optimal mesh adaptation? III. Could this optimization problem, which is posed on triangulations of a given cardinality N, be replaced by an equivalent more tractable problem posed on a continuous object? IV. Is it possible to produce a near-optimal sequence of triangulations using a hierarchical refinement procedure?