Calcul moulien et théorie des formes normales classiques et renormalisées
Auteur / Autrice : | Guillaume Morin |
Direction : | Jacky Cresson |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Astronomie et astrophysique |
Date : | Soutenance en 2010 |
Etablissement(s) : | Observatoire de Paris (1667-....) |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Astronomie et astrophysique d'Île-de-France (Meudon, Hauts-de-Seine1992-....) |
Jury : | Examinateurs / Examinatrices : Jacky Cresson, Mostafa Adimy, Jean Ecalle, Giuseppe Gaeta, David Sauzin, Emmanuel Paul, Jacques-Arthur Weil |
Rapporteurs / Rapporteuses : Mostafa Adimy, Jean Ecalle, Giuseppe Gaeta |
Mots clés
Résumé
On présente dans une première partie le cadre des équations différentielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale "classique". On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelles démonstration de la version formèle du théorème de Kolgomorov et du théorème Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple implémentant certains de ces calculs, et témoignant par là de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.