Calcul moulien et théorie des formes normales classiques et renormalisées

par Guillaume Morin

Thèse de doctorat en Astronomie et astrophysique

Sous la direction de Jacky Cresson.

Soutenue en 2010

à Observatoire de Paris (1667-....) , dans le cadre de École doctorale Astronomie et astrophysique d'Île-de-France (Meudon, Hauts-de-Seine ; 1992-....) .

Le jury était composé de Jacky Cresson, Mostafa Adimy, Jean Ecalle, Giuseppe Gaeta, David Sauzin, Emmanuel Paul, Jacques-Arthur Weil.

Les rapporteurs étaient Mostafa Adimy, Jean Ecalle, Giuseppe Gaeta.

mots clés

• Systèmes dynamiques
• Formes normales (mathématiques)
• Équations différentielles à retard
• Opérateur hamiltonien
• Calcul formel

Résumé

On présente dans une première partie le cadre des équations différentielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale "classique". On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelles démonstration de la version formèle du théorème de Kolgomorov et du théorème Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple implémentant certains de ces calculs, et témoignant par là de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

Titre traduit

Mould calculus and theory of usual and renormalized normal form

Résumé

This text is about normal forms of differential equations. The first part of this text deals with retarded (or delayed) differential equations ; these equations appear for example in tide computations and also in physiological modeling, where they have a particular interest. The search of normal forms of retarded differential equations is made difficult as the initial conditions space is of infinité dimension. We present a computation by Faria which reduces this difficulty : first we make a projection on a finite dimensional central manifold, on which it is possible to make a classical (i. E. Poincaré-Dulac) normal form computation. Then we extend this result with the help of Gaeta's method of renormalization. By using these two methods, we prove a theorem giving existence of a renormalized normal form of a retarded differential equation. In the second part, we present the mould calculus by Jean Ecalle. We use this formalism to compute normal forms of formal vector fields and apply it then to hamiltonian formal vector field in cartesian coordinates, the in action-angle coordinates. We obtain then a new proof of a normal version of Birkhoff's theorem on normal forms, and Kolmogorov's theorem. We present also a Maple worksheet, which shows how easily mould can be implemented in formal computations.