Tensor tools with application in signal processing

par Mikael Sorensen

Thèse de doctorat en Automatique, traitement du signal et des images

Sous la direction de Luc Deneire.

Soutenue en 2010

à Nice .

mots clés

• Calcul tensoriel
• Décomposition (méthode mathématique)
• Traitement du signal
• Identification des systèmes
• Analyse en composantes indépendantes

Titre traduit

Outils tensoriels pour le traitement du signal

Résumé

Several problems in signal processing can be put in a tensorial framework. In many cases, these problems lead to compute structured tensor decompositions. The main purpose of this thesis is the development of computational methods for structured tensor decomposition problems with application in signal processing. First, we propose methods for the computation of the CANDECOMP/PARAFAC (CP) decomposition with a semi-unitary matrix factor. Moreover, we develop methods to solve CP structured independent component analysis problems by addressing them as semi-unitary constrained CP decompositions problems. Second, we propose simultaneous (generalized) Schur decomposition methods to compute CP decompositions possibly with partial (Hermitian) symmetries. Moreover, a Jacobi-type sweeping procedure for the computation of a real CP decomposition will be considered. Third, we propose methods to compute tensor decompositions with banded or Hankel/Toeplitz matrix factors and possibly also with partial (Hermitian) symmetries. The methods will be applied to solve some cumulant based blind identification problems. Fourth, we propose a more efficient Jacobi method for blind equalization of paraunitary channels. Furthermore, we also derive an algebraic solution for the Jacobi method for likelihood based joint diagonalization of real positive definite matrices.

Résumé

Nombre de problèmes issus du traitement de signal peuvent être modélisés par des équations/problèmes tensoriels. La spécificité des problèmes de traitement de signal est qu’ils donnent lieu à des décompositions tensorielles structurées. L’objectif principal de cette thèse est, d’une part, le développement de méthodes numériques appliquées aux problèmes de décompositions de tenseurs structurés et, d’autre part, leur application en traitement de signal. Dans un premier temps, nous proposons des méthodes pour le calcul de la décomposition CANDECOMP/PARAFAC (CP) avec un facteur matriciel semi-unitaire. De plus, nous développons des méthodes pour résoudre des problèmes d’analyse en composantes indépendantes (ICA) pouvant être modélisés par une décomposition CP structurée, en les considérant comme des problèmes de décompositions CP sous contrainte de semi-unitarité. Ensuite, pour le calcul de décompositions CP avec symétries hermitiennes partielles, nous proposons des méthodes de décompositions simultanées de Schur généralisées. D’un point de vue numérique, nous développons le calcul de décompositions CP réelles par une méthode de Jacobi. En troisième lieu, nous nous attaquons à la décomposition de tenseurs ayant des facteurs matriciels bande ou Hankel/Toeplitz, conjointement (ou non) à des symétries hermitiennes partielles. Ces méthodes sont appliquées à la résolution de problèmes d’identification aveugle basés sur des cumulants. Enfin, nous proposons une méthode (plus) efficace pour l’égalisation aveugle de canaux paraunitaires basée sur les itérations de Jacobi. Dans le même esprit, nous dérivons une solution algébrique à la méthode de Jacobi pour effectuer la diagonalisation conjointe de matrices réelles définies positives.