Thèse soutenue

Analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dissipative
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Auteur / Autrice : Julien Royer
Direction : Xue-Ping Wang
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et applications
Date : Soutenance en 2010
Etablissement(s) : Nantes
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Le but de cette thèse est d'étudier sur Rn la limite haute fréquence de l'équation de Helmholtz. La particularité de ce travail est que l'indice d'absorption V2 n'est pas supposé constant, ce qui nous oblige à travailler avec un opérateur de Schrödinger qui n'est pas autoadjoint. On cherche dans une première partie des estimations en O(h-1) pour la résolvante (Hh - z)-1, uniformes pour Re z E > 0 et Im z > 0. Pour traiter le cas ou V2 est positif, on adapte la méthode de Mourre au cas d'opérateurs dissipatifs abstraits. On l'applique ensuite à l'opérateur de Schrödinger sous une hypothèse d'amortissement sur les trajectoires classiques captées, plus faible que l'hypothèse usuelle de non-capture. Enfin, par une méthode utilisant des mesures semi-classiques, on généralise encore ce résultat au cas où V2 admet une partie négative à support compact, sous la condition que l'amortissement reste suffisamment fort sur les trajectoires captées. On s'intéresse ensuite aux mesures semi-classiques de la solution sortante uh dans le cas où le terme source Sh se concentre sur une sous-variété bornée I' de l'espace Rn. Outre le caractère non-autoadjoint de l'opérateur Hh, les principales difficultés par rapport aux travaux existants sont dues à la géométrie de I' et aux trajectoires captées. On introduit pour ce dernier point des mesures semi-classiques tronquées (en remplaçant la résolvante par l'intégrale sur des temps finis du propagateur) que l'on fait ensuite converger