Études combinatoires du tableau d’Euler sur les produits en couronne

Combinatorial studies of Euler's table on wreath products

• Auteur / Autrice : Hilarion Faliharimalala
• Direction : Arthur Randrianarivony, Jiang Zeng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 31/03/2010
• Etablissement(s) : Lyon 1 en cotutelle avec Université d'Antananarivo
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) - Institut Camille Jordan - Institut Camille Jordan [Villeurbanne]
• Jury : Président / Présidente : Dominique Foata
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Riccardo Biagioli, Alain Lascoux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Einar Steingrimsson, Masao Ishikawa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Factorisation

Groupes, Théorie des -- Symétriques

Produits eulériens

Mots clés libres

Tableau d'Euler

Combinatoire

Produits en couronne

Extension

Dérangements

Q-analogue

Mahonienne

K-succession

Transformations fondamentales de Foata

Euler's table

Combinatory

Wreath products

Extension

Derangements

Q-analogue

Mahonian

K-succession

Foata’s fundamental transformations

Résumé

Au cours des deux dernières décennies, des travaux actifs ont été menés pour étendre des résultats classiques liés au groupe symétrique à d'autres groupes plus généraux. Cette thèse a pour objectif d’étendre aux produits en couronne les résultats concernant le tableau de différence d’Euler. Elle est divisée en cinq chapitres. Le tableau de différence d’Euler lié à la suite {n!} conduit naturellement à la formule du nombre de dérangements. Nous étudions dans les deux premiers chapitres, le tableau de différence d’Euler associé à la suite {rnn!} et la généralisation du problème de dérangements. Pour les coefficients de ce dernier tableau, nous donnons des interprétations combinatoires en termes de k-successions sur les produits en couronne. Clarke et al. ont introduit un q-analogue du tableau de différence d’Euler sur le groupe symétrique. Dans le troisième chapitre, nous étendons leurs résultats sur les produits en couronne. En généralisant leur bijection, nous montrons que « (fix, exc, fmaj) » et « (fix, exc, fmaf) » sont équidistribués sur les produits en couronne où «fmaf» est une nouvelle statistique mahonienne. D’autre part, Foata et Han ont récemment construit deux transformations. Nous prouvons dans le quatrième chapitre que ses bijections fournissent une factorisation de la bijection de Clarke et al.. Dans le cinquième chapitre nous donnons une extension de la seconde transformation fondamentale de Foata sur les mots r-colorés. Nous prouvons l’équidistribution sur les produits en couronne de « (fmaj , des*) » et « (finv , col) » où « col » est la somme des couleurs et « des* » une nouvelle statistique.

In the last two decades, much effort has been made to extend various enumerative results on symmetric groups to other more general groups. The main objective of this thesis is to extend to wreath products the results that concern the Euler's difference table. It is divided into five chapters. Euler's difference table associated to the sequence {n!} leads naturally to the counting formula for the derangements. In the first two chapters, we study Euler's difference table associated to the sequence {rnn!} and the generalized derangement problem. For the coefficients appearing in the later table, we give the combinatorial interpretations in terms of k-successions on wreath products. Clarke et al. introduced a q-analogue of Euler's difference table on symmetric group. In the third chapter, we extend their results to wreath products. By generalizing their bijection, we prove the equidistribution of the triple statistics “(fix, exc, fmaj)” and “(fix, exc, fmaf)” on wreath products, where “fmaf” is a new mahonian statistic on wreath products. On the other hand, Foata and Han have recently constructed two new transformations. We prove in fourth chapter that their two bijections provide a factorization of Clarke et al.'s bijection. In the fifth chapter we give an extension of Foata’s second fundamental transformation on r-colored words. We show that the bistatistics “(fmaj , des*)” and “(finv , col)” are equidistributed on wreath products, where “col” is the sum of color and “des*” a new statistic.