Théorèmes limites et vitesses de convergence pour certains processus de branchement et des marches aléatoires branchantes

par Chunmao Huang

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Quansheng Liu.

Soutenue en 2010

à Lorient .

mots clés

• Marche aléatoire branchante
• Processus de branchement
• Martingales (mathématiques) -- Thèses et écrits académiques
• Moments, Méthodes des (statistique) -- Thèses et écrits académiques
• Théorème de la limite centrale -- Thèses et écrits académiques
• Analyse numérique -- Accélération de la convergence -- Thèses et écrits académiques
• Écarts types -- Thèses et écrits académiques

Résumé

Cette thèse contient trois parties. La première partie concerne un processus de branchement, (Zn), dans un environnement aléatoire. Nous y montrons des propriétés asymptotiques des moments (d'ordres positifs ou négatifs) de Zn, des principes de grande déviation et de déviation modérée sur log Zn, et des vitesses de convergence (au sens presque sûre, ou en probabilité, ou dans Lp) de la martingale naturelle associée. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une marche aléatoire branchante dans un environnement aléatoire temporel sur la droite réelle R, où une particule de la génération n donne naissance aux enfants qui se déplacent sur R, selon une loi aléatoire indexée par n. Pour la mesure de comptage qui compte le nombre de particules de la génération n situées dans une partie de R, nous établissons des lois des grands nombres, des théorèmes de la limite centrale, des principes de grande déviation et de déviation modérée. Nous y montrons aussi la convergence dans Lp de la martingale naturelle associée et sa vitesse de convergence. Dans la troisième partie, pour les martingales naturelles associées à une marche aléatoire branchante multitype, nous calculons les vitesses de convergence dans Lp.

Titre traduit

Limit theorems and convergence rates for certain branching processes and some branching random walks

Résumé

This thesis contains three parts. The first part concerns a branching process, (Zn), in a random environment. We show the asymptotic properties of moments (of positive or negative orders) of Zn, large and moderate deviation principles for log Zn, and the convergence rates of the corresponding natural martingale (in the sense almost sure, or in probability, or in Lp). The second part is devoted to the study of a branching random walk with a random environment in time on real line R, where a particle of generation n give birth to children which are scattered on R, according to a random distribution indexed by n. For the counting measure which counts the number of particles of generation n situated in a subset of R, we establish laws of large numbers, central limit theorems, large and moderate deviation principles. We also show the convergence in Lp of the natural martingale and its convergence rate. In the third part, for the natural martingales of a multiype branching random walk, we calculate their convergence rates in Lp.