Une nouvelle méthode pour la résolution d'équations fonctionnelles non linéaires et résolution d'un problème issu de la microscopie électronique

par Feyed Ben Zitoun

Thèse de doctorat en Sciences de l'ingénieur

Sous la direction de Armand Caron.

Soutenue en 2010

à Lorient , dans le cadre de École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère) , en partenariat avec Université européenne de Bretagne (2007-2016) (autre partenaire) .

mots clés

• Conditions initiales aux états limites
• Solutions approchées
• Équations fonctionnelles
• Analyse fonctionnelle non linéaire
• Approximation numérique
• Microscopie électronique à balayage
• Potentiel de surface -- Modèles mathématiques

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous présentons une nouvelle méthode permettant de résoudre une large variété d’équations fonctionnelles. Cette méthode permet de convertir une équation fonctionnelle nonlinéaire (à coefficients constants et/ou variables et avec ou sans conditions initiales et aux limites) en un système d’équations algébriques. Le problème consistant à résoudre une équation fonctionnelle nonlinéaire (avec ou sans conditions) est ainsi simplifié et ramené à la résolution d’un système d’équations algébriques. La résolution de ce système permet d’obtenir la solution de l’équation fonctionnelle nonlinéaire sous la forme d’une série tronquée. Notre méthode n’effectue aucune discrétisation ce qui permet d’obtenir une valeur approchée de la solution exacte de l’équation fonctionnelle en tout point du domaine. Après avoir exposé notre méthode dans un cadre général, la résolution de quelques problèmes tests met en évidence la simplicité de la mise en oeuvre effective de notre technique, la souplesse et l’efficacité de notre méthode et la précision de nos résultats. Dans la deuxième partie, nous abordons un problème issu de la microscopie électronique. Nous montrons que l’on peut retrouver l’allure d’une image fournit par un microscope électronique à balayage et issue de l’interaction d’un faisceau d’électrons avec la surface d’un échantillon de matériau composite par une démarche de modélisation du potentiel de surface et une approximation de la valeur du potentiel de surface. Nous observons une analogie entre la cartographie numérique des potentiels de surface en différents points de la zone d’étude de l’échantillon et l’image contrastée obtenue en microscopie électronique à balayage. Les résultats laissent augurer de futurs développements dans l’analyse d’images de microscopie électronique.

Titre traduit

A new method for the resolution of nonlinear functional equations and resolution of a problem issued from electron microscopy

Résumé

This thesis is composed of two parts. In the first part, we present a new method allowing to resolve a wide variety of functional equations. This method reduce a nonlinear functional equation (in constant and\or variable coefficients and with or without initial conditions and in the limits) to a system of algebraic equations. The problem consisting in resolving a nonlinear functional equation is so simplified and returned to the resolution of a system of algebraic equations. The resolution of this system allows to obtain Solution of the nonlinear functional equation under the shape of a truncated series. Our method makes no discrétisation what allows to obtain a value approached the exact solution of the functional equation completely of the domain. Having exposed our method in a general frame, the resolution of some problems tests brings to light the simplicity of the effective implementation of our technique The flexibility and the efficiency of our method and the precision of our results. In the second part, we approach a problem stemming from the electronic microscopy. We show that we can find the speed of an image supplies by an electron microscope with sweeping and stemming from the interaction of an electron beam with the surface of a sample of composite material by an approach of modelling of the potential of surface and an estimate of the value of the potential of surface. We observe an analogy between the digital mapping of the potential of surface at differents points of the sample and the contrasted image obtained with the scanning electron microscope.