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Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Souad Marzin-Otmani
Direction : Christian Blanchet
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2010
Etablissement(s) : Lorient
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère)
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Bretagne Sud (1995-....) - Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Résumé

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Le fameux théorème de Lickorish [1962], Wallace [1960] dit que toute variété fermée orientée de dimension 3 peut être obtenue par chirurgie le long d’un entrelacs. Le calcul de Kirby décrit la relation d’équivalence sur les entrelacs qui présentent par chirurgie des 3-variétés homéomorphes. Ce calcul est un outil fondamental dans la construction d’invariants. Le calcul de Habiro considère la classe des sphères d’homologie entière. Comme nous savons, que toute sphère d’homologie entière peut être présentée par la chirurgie le long d’un entrelacs qui a une matrice d’enlacement diagonale de termes diagonaux +-1. Nous appelons cette classe d’entrelacs, les entrelacs admissibles. Habiro a étudié les entrelacs admissibles, en remplaçant le glissement d’anse dans le calcul de Kirby par une paire algébriquement neutre de glissement d’anse, appelée glissement de bande. Ce glissement de bande ne change pas la matrice d’enlacement. De cette manière Habiro a établit un raffinement du calcul de Kirby pour les sphères d’homologie entière. Le calcul de Habiro définit ainsi une équivalence sur la classe des entrelacs admissibles. Ce travail a pour but de restreindre le calcul de Kirby pour les présentations algébriquement de Hopf, c’est-à-dire les entrelacs qui ont même matrice d’enlacement que l’union disjointe de plusieurs entrelacs de Hopf. On montre que la classe des entrelacs algébriquement de Hopf présente par chirurgie la classe des sphères d’homologie entière dont l’invariant de Rochlin est nul. Aussi on définit la stabilisation de Hopf sur cette classe d’entrelacs. En utilisant le glissement de bande et la stabilisation de Hopf, on établit un raffinement pour les présentations algébriquement de Hopf. Ce calcul permettra de définir une équivalence sur la classe des entrelacs algébriquement de Hopf.