Contrôle optimal géométrique et numérique appliqué au problème de transfert Terre-Lune

Numerical and geometric control methods and applications to the Earth - Moon transfert problem

• Auteur / Autrice : Gautier Picot
• Direction : Bernard Bonnard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/11/2010
• Etablissement(s) : Dijon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot (Dijon ; .....-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Hans Rudolf Jauslin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Baptiste Caillau, Joseph Gergaud
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Baptiste Pomet, Maïtine Bergounioux, Monique Chyba

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problème à trois corps

Transfert orbital (vol spatial)

Principes du maximum (mathématiques)

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Contrôle optimal

Principe du maximum

Conditions du second ordre

Transfert orbital

Problème des 3 corps

Structure de variété invariante

Méthode de tir

Continuation.

Optimal control

Maximum principle

Second order conditions

Orbital transfert

3-body problem

Invariant manifold

Shooting method

Continuation

Résumé

L'objet de cette thèse est de proposer une étude numérique, fondée sur l'application de résultats de la théorie du contrôle optimal géométrique, des trajectoires spatiales du système Terre-Lune dans un contexte de poussée faible. Le mouvement du satellite est décrit par les équations du problème restreint des trois corps controlé. Nous nous concentrons sur la minimisation de la consommation énergétique et du temps de transfert. Les trajectoires optimales sont recherchées parmi les projections des courbes extrémales solutions du principe du maximum de Pontryagin et peuvent être calculées grâce à une méthode de tir. Ce procédé fait intervenir l'algorithme de Newton dont la convergence nécessite une initialisation précise. Nous surmontons cette difficulté au moyen de techniques homotopiques ou d'études géométriques du système de contrôle linéarisé. L'optimalité locale des trajectoires extrémales est ensuite vérifée en utilisant les conditions du second ordre liées au concept de point conjugué. Dans le cas du problème de minimisation de l'énergie, une technique de "recollement" de trajectoires optimales kepleriennes autour de la Terre et La Lune et d'une solution optimale de l'équation du mouvement linéarisée au voisinage du point d'équilibre L1 est également proposée pour approximer les transferts Terre-Lune à énergie minimale.

This PhD thesis provides a numerical study of space trajectories in the Earth-Moon system when low-thrust is applied. Our computations are based on fundamental results from geometric control theory. The spacecraft's motion is modelled by the equations of the controlled restricted three-body problem. We focus on minimizing energy cost and transfer time. Optimal trajectories are found among a set of extremal curves, solutions of the Pontryagin's maximum principle, which can be computed solving a shooting equation thanks to a Newton algorithm. In this framework, initial conditions are found using homotopic methods or studying the linearized control system. We check local optimality of the trajectories using the second order optimality conditions related to the concept of conjugate points. In the case of the energy minimization problem, we also describe the principle of approximating Earth-Moon optimal transfers by concatening optimal keplerian trajectories around The Earth and the Moon and an energy-minimal solution of the linearized system in the neighbourhood of the equilibrium point L1.