Exemples et applications des groupoïdes quantiques finis

par Camille Mével

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Leonid Vainerman.

Soutenue en 2010

à Caen .

mots clés

• Groupoïdes quantiques
• Von Neumann, Algèbres de
• Facteurs (algèbre)
• Catégories (mathématiques)

Résumé

Dans cette thèse, nous construisons une famille concrète d'inclusions de facteurs de type II1 d'indice (n + √n)2, pour n entier supérieur ou égal à 1, et nous étudions leurs facteurs intermédiaires, notamment leurs indices et leurs graphes principaux. Nous faisons agir des C*-algèbres de Hopf faibles sur le facteur hyperfini de type II1 et utilisons ensuite la correspondance de Galois entre les facteurs intermédiaires et les coïdalgèbres. Dans un premier temps, nous décrivons donc une famille de C*-algèbres de Hopf faibles. Elles sont obtenues en appliquant aux catégories de Tambara-Yamagami le théorème de reconstruction pour les catégories de fusion. Nous en donnons ensuite deux familles de coïdalgèbres et montrons qu'elles forment un treillis. Nous sommes donc en mesure de construire les inclusions de facteurs et d'en donner déjà des facteurs intermédiaires. Dans un second temps, nous montrons le lien entre les coïdalgèbres et les catégories de module et nous décrivons un certain type de catégories de module simples sur les catégories de Tambara-Yamagami. Cette classification étant complète pour une sous-famille des catégories de Tambara-Yamagami, elle nous permet dans ce cas de décrire de manière exhaustive les graphes principaux des facteurs intermédiaires.

Titre traduit

Examples and applications of finite quantum groupoids

Résumé

In this thesis, we construct a concrete family of inclusions of type II1 factors with index (n + √n)2, for n natural greater or equal to 1, and we study their intermediate factors, in particular their indices and principal graphs. We use actions of weak Hopf C*-algebras on the hyperfinite type II1 factors and then the Galois correspondance between intermediate factors and coidalgebras. First, we describe a family of weak Hopf C*-algebras obtained by application of the reconstuction theorem for fusion categories to Tambara-Yamagami categories. We give two families of coidalgebras and show they form a lattice. We can then construct the inclusions of factors and some intermediate factors. Second, we make the link between coidalgebras and module categories and we describe a certain type of module categories over ambara-Yamagami categories. This classification is complete for a subfamily of Tambara-Yamagami categoris and this leads to an exhaustive description of principal graphs of intermediate factors.