Comportement asymptotique des solutions d’un système de Schrödinger-Poisson en dimension trois d’espace

par Amna Dabaa

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Olivier Goubet.

Soutenue en 2010

à Amiens .

mots clés

• Schrödinger, Équation de -- Thèses et écrits académiques
• Attracteurs (mathématiques) -- Thèses et écrits académiques

Résumé

Nous étudions le comportement pour les grands temps des solutions de l’équation de Schrödinger-Poisson (NLSP) avec un terme de force extérieure supplémentaire et un terme de dissipation d’ordre zéro. L’équation de Schrödinger-Poisson, appelée aussi équation de Hartree, présentée avec amortissement et force extérieure, s’écrit {ut + γu + i∆u + iuφ = f, (3. 60) {±∆φ = |u|2. L’équation ±∆φ = |u|2 avec le signe −, i. E −∆φ = |u|2 correspond au cas focalisant, avec le signe + correspond au cas défocalisant. Notre travail se divise en deux parties. Dans la première partie, on travaille avec des conditions aux limites φ = u = 0 sur ∂Ω. Nous démontrons que le comportement des solutions est décrit par un attracteur qui attire toutes les trajectoires dans H01(Ω). De plus on montre que notre attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans H01(Ω). La force extérieure f est supposée dans L2(Ω) et γ > 0 est le paramètre d’amortissement. L’inconnue u(t, x) est une fonction à valeurs complexes ; dans la suite u(t) = u(t,. ) ∈H01(Ω). Dans la deuxième partie, on démontre le comportement des solutions est décrit par un attracteur qui attire toutes les trajectoires dans H 1(R3). De plus on montre que notre attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans H 1(R3). Ici l’inconnue u : R3 x × Rt → C et le potentiel φ est à valeurs réelles. La force extérieure f est supposée dans L2(R3) et γ > 0 est le paramètre d’amortissement. L’inconnue u(t, x) est une fonction à valeurs complexes ; dans la suite u(t) = u(t,. ) ∈H 1(R3).

Titre traduit

Asymptotic behavior of solutions of a Schrodinger-Poisson system in three dimensional space

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