Estimation non paramétrique de la dérivée fractionnaire de la fonction de répartition : avec une application statistique aux tests d'ajustement
par Andreea Borla
Thèse de doctorat en Sciences économiques
Sous la direction de Costin Protopopescu et de Michel Lubrano.
Soutenue en 2010
à Aix-Marseille 2 .
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Résumé
Nous proposons un estimateur pour la dérivée fractionnaire d'ordre (a) de la fonction de répartition. L'estimateur est basé sur des différences finies de la fonction de répartition empirique. Le biais, la variance et la convergence de cet estimateur seront étudiés. Cet estimateur dépend d'un paramètre (b) qui a un comportement similaire à celui de la fenêtre de lissage d'un estimateur non paramétrique par noyau. Nous discutons ensuite la mise en oeuvre d'une version tronquée de l'estimateur, en remarquant qu'une troncature endogène peut être définie d'une manière naturelle. Ceci permettra d'étudier le cas (a) supérieur à 1/2 ainsi qu'une analyse plus fine du comportement asymptotique de l'estimateur par rapport à la taille de l'échantillon et à l'ordre de la dérivée fractionnaire. Dans un troisième chapitre, nous allons remplacer la fonction de répartition empirique par l'estimateur par noyau. Ceci fera apparaître un deuxième paramètre de lissage, h. Une troncature endogène à droite permettra d'obtenir une définition tractable en pratique et nous permettra de déduire les propriété asymptotiques de l'estimateur. Nous allons monter que l'introduction de ce deuxième paramètre de lissage va stabiliser la variance, le biais étant affecté selon le signe de la dérivée fractionnaire d'ordre (a+2). Enfin, un test de goodness-of-fit est proposé pour répondre à un débat théorique et numérique existant dans la littérature, celui de statuer lequel des deux tests de spécification non paramétrique est meilleur en pratique : celui basé sur la fonction de répartition, ou celui basé sur la densité. Nous mettons en évidence deux familles d'alternatives à la normalité qui ont des comportements opposés concernant le trade-off entre la discrépance et la précision induite par les estimateurs nonparamétriques de la dérivée en question. Pour les deux exemples présentés, l'ordre optimal de dérivée qui maximalise la puissance du test n'est pas entier, dépendant de la famille d'alternatives choisie.
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Titre traduit
Nonparametric estimation of the fractional derivative of the distribution function with a statistical application to goodness of fit tests
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Résumé
We propose an estimator for the (a) fractional derivative of a distribution function. The estimator is based on finite differences of the empirical distribution function. The asymptotic bias, variance and consistency of the estimator are studied. It depends on a "smoothing parameter" whose behavior is similar to the bandwidth of a kernel estimator. Given that we note that an endogenous truncation can be defined in a natural way, we discuss the implementation of a truncated version of the estimator. This will allow a sharper analysis of the asymptotic behaviour of the estimator with respect to the sample size and the order of the fractional derivative. In the third chapter we will introduce another estimator for the CDF, a smoother one, the kernel estimator, and thus a second smothing factor. A natural endogenous truncation to the right ensures a tractacle definition in practice and allows deducing the asymptotic properties of the estimator. The optimal choice of the smoothing parameters is studied. Finally, we propose a goodness-of-fit test. Using simulations, we will show that there is an optimal order of differentiation that maximizes the power of the test, which depends on the alternative. Consequently test based on the integer order derivatives are not necessarily the one with the highest power. The optimum order of differentiation changes depending on the parameters of the alternative distribution and the sample size.
