Etude de deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec terme de source relatif à la fonction ou à son gradient

par Haydar Abdel Hamid

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Marie-Françoise Bidaut-Véron.

Soutenue le 07-12-2009

à Tours , dans le cadre de Ecole doctorale Santé, sciences, technologies (Tours) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017) (équipe de recherche) .

Le président du jury était François Murat.

Le jury était composé de Philippe Souplet, Guy Barles, Laurent Veron, Alain Prignet, Ireneo Peral.

mots clés

• Multiplicité des solutions
• P-Laplacien
• Équations aux dérivées partielles
• Radon, Mesures de
• Problèmes aux limites non linéaires
• Euler, Équations d'
• Multiplicité (mathématiques)
• Équations différentielles elliptiques quasilinéaires
• Équations du second degré
• Suites de Palais-Smale
• Équations aux dérivées partielles non linéaires

Résumé

Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l’existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d’introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d’inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d’inconnue v, contient un terme source d’ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l’aide d’un changement d’inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l’existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l’existence d’une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d’existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.

Titre traduit

Study of two elliptic quasilinear problems with a source term involving the function or its gradiant

Résumé

In the thesis manuscript we present new results concerning existence, nonexistence, multiplicity and regularity of positive solutions for two elliptic quasilinear problems with Dirichlet data in a bounded domain. In chapter 1 we describe the two problems which we study in the sequel and we give the main results. The first one, of unknown u, involves a gradient term with natural growth. The second one, of unknown v, presents a source term of order 0. In chapter 2 we give new regularity results for renormalized solutions. Thanks to a change of unknown we establish a precise connection between problems in u and v. Chapter 3 is devoted to show this connection and to give a first application. In the chapters 4 and 5 we treat existence solutions, extremal solution and its regularity, the existence of a second bounded solution for the problem in v. In chapter 6 we prove a result of existence for the problem in v with general bounded Radon measures data. In chapter 7 we obtain new results for the problem in u by using the connection between these two problems.