Simulation numérique multidimentionnelle d’écoulements estuariens

par Agnès Petrau

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Mohamed Amara.

Soutenue en 2009

à Pau .

mots clés

• Hydrodynamique -- Modèles mathématiques
• Simulation par ordinateur
• Éléments finis, Méthode des

Résumé

On s'intéresse dans cette thèse à la modélisation et à la simulation multidimensionnelle de l'hydrodynamique fluviale, notamment près des estuaires. Le modèle physique de référence est le modèle 3D, mais au vu de son important coût de calcul, il est intéressant de disposer de modèles plus simples en 1D, 2D ou 2. 5D, que l'on peut utiliser dans des zones adéquates du fleuve, en fonction de sa topographie et de sa bathymétrie. Ainsi, à partir du modèle 3D basé sur les équations instationnaires et incompressibles de Navier-Stokes, des modèles plus simples sont dérivés par projection par formulations faibles du problème 3D. On obtient ainsi un modèle en 1D, écrit sur la courbe médiane de la surface libre du fleuve, ainsi que deux modèles en 2D, le 2D-vertical écrit sur la surface longitudinale médiane du fleuve et le 2D-horizontal écrit sur la surface libre. Enfin on définit un modèle en quasi-3D, le modèle 2. 5D, écrit dans la somme des espaces 2D-vertical et 2D-horizontal. Tous ces modèles prennent en compte la géométrie du fleuve et fournissent une vitesse tridimensionnelle ainsi que la pression, qui n'est pas supposée hydrostatique mais qui est une inconnue entière du problème. En outre, on définit et justifie un estimateur de modèles, entre le modèle 3D et chacune de ses approximations en 1D, 2D et 2. 5D. Cet estimateur calcule l'erreur entre le modèle 3D et son approximation, et donne ainsi une indication sur la qualité des résultats obtenus à partir des modèles 1D, 2D ou 2. 5D, dans leurs zones respectives de calcul. Tous ces modèles hydrodynamiques sont implémentés dans des codes d'éléments finis, écrits en C++. Enfin, ils sont couplés numériquement à l'aide de l'estimateur de modèles.

Titre traduit

Multidimensional numerical simulation of estuarian river flows.

Résumé

In this work, we are interested by the hydrodynamical multidimensional modeling and simulation of estuarian river flows. The physical model to be employed is a 3D one, but due to the huge computational cost, it cannot be used on the whole length of the river. Therefore, it is interesting to use different lower-dimensional models on adequate regions of the river, according to its topography and its bathymetry. Therefore, new hydrodynamical models are proposed in 1D, 2D and 2. 5D. We start from the 3D problem based on the instationary and incompressible Navier-Stokes equations, which is written in a weak form. Then simpler models are derived by means of a projection method. A 1D model is derived on the median curve of the river, as well as two 2D models called 2D-horizontal and 2D-vertical models, either they are written on the free surface or on the median longitudinal surface of the river. The 2. 5D model is obtained by adding the 2D-vertical and 2D-horizontal discrete spaces. All these models take into account the geometry of the river and provide a 3D velocity and a 3D pressure. The pressure is an unknown of the problem and it is not supposed to be hydrostatic. Moreover, model estimators between the 3D model and any of its lower-dimensional approximations in 1D, 2D or 2. 5D, are defined and justified. These model estimators compute the error between the 3D model and the simpler models, and then also indicate the validity domain of these simpler hydrodynamical models, from a qualitative point of view. All these new hydrodynamical models are implemented in finite element codes written in C++, and coupled numerically with the model estimators.