Etude de l’approximation hydrostatique de Stokes et d’une équation dégénérée.

par Fabien Dahoumane

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Guy Vallet.

Soutenue en 2009

à Pau .

mots clés

• Équations différentielles elliptiques
• Équations différentielles dégénérées
• Mécanique des fluides
• Sobolev, Espaces de

Résumé

Dans ce travail, on étudie quelques problèmes d’équations aux dérivées partielles elliptiques que l’on rencontre dans la modélisation d’écoulements réels, comme par exemple la circulation océanique globale. La thèse est divisée en trois parties. La partie 1 est consacrée à l’étude du problème de Stokes dit « hydrostatique » en dimension trois posé dans un domaine borné non nécessairement cylindrique. L’originalité de ces travaux provient du fait que l’on considère des données non homogènes, tant dans l’équation de conservation de la masse que sur la condition aux limites portée sur la vitesse verticale. Pour traiter cette nouvelle situation, on se ramène par équivalence à résoudre un système d’équations primitives linéarisées non homogènes, que l’on résout avec une approche entièrement fonctionnelle et optimale grâce au cadre fonctionnel que l’on considère. Par conséquent, on montre deux cas d’existence et d’unicité d’une solution faible au problème de Stokes hydrostatique avec conditions non homogènes. Les partie 2 et 3 sont consacrées à l’étude d’un modèle elliptique avec un coefficient de diffusion qui peut dégénérer. Ce type d’équations intervient également dans des problèmes géophysiques, que ce soit dans des questions de modélisation de circulation globale, mais aussi dans des problèmes d’infiltration et de milieux poreux. On étudie le cas du demi-espace pour lequel on obtient une théorie optimale de régularité des solutions faibles. On traite enfin le cas général pour lequel on obtient un cas d’existence et d’unicité de solution faible et un résultat de régularité associé.

Titre traduit

On the hydrostatic Stokes approximation and a degenerated equation.

Résumé

In this work, we study some elliptic partial differential equations problems modelling fluid motion, such as global oceanographic circulation. The thesis is divided into three parts. Part 1 is dedicated to the so called « hydrostatic » Stokes problem in dimension three and set in a bounded domain non necessarily cylindrical. The originality of this work relies in the fact that we consider non homogeneous data, not only in the mass conservation equation but also in the boundary condition carried by the vertical velocity. To handle this new situation, we prove that the difficulty is reduced to solve a non homogeneous linearized primitive equations system, that we solve with an entirely functional and optimal approach given the framework we consider. Therefore, we give two cases of existence and uniqueness of a weak solution to the hydrostatic Stokes problem with non homogeneous conditions. Part 2 and 3 are dedicated to the study of an elliptic model with a diffusion coefficient having a possible degenerated behavior. We can also find these equations in geophysical problems, such as in global circulation modelling questions or seepage and porous media problems. We study the half-space case for which we obtain an optimal regularity theory of weak solutions. Finally, we deal with the general case for which we establish an existence and uniqueness proof of a weak solution, jointly with a regularity result.