Analyse et estimation d’erreur en volumes finis. Application aux écoulements en milieu poreux et à l’adaptation de maillage

Analysis and error estimates in finite volumes application to mesh adaptation and multiphase flow in porous media

• Auteur / Autrice : Amadou Mahamane
• Direction : Fayssal Benkhaldoun
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écoulement diphasique

Calcul adaptatif

Volumes finis, Méthodes de

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons dans une première partie à la simulation numérique d'un écoulement diphasique en milieu poreux par une méthode de volumes finis adaptatifs. La modélisation proposée par G. CHAVENT, conduisant au couplage d'une famille d'équations elliptiques en pression, et d'une équation de convection-diffusion non linéaire en saturation a été retenue. Nous discrétisons la convection par décentrement et la diffusion par le schéma VFdiamant. Nous montrons la L puissance infinie - stabilité du schéma de discrétisation obtenu dans des cas simples. Nous implémentons ce schéma à l'aide des cas tests académiques sur des maillages non structurés adaptatifs; les résultats obtenus reproduisent ceux de la littérature. La seconde partie de ce travail est consacré à l'étude de certains schémas volumes finis dédiés à l'approximation des opérateurs de diffusion. En particulier, nous considérons les schémas : VFdiamant, DDFV développé par P. Omnes et K. Domelevo, VFmixte dû à J. Droniou et à R. Eymard et CVFE développé par B. Amaziane et M. Afif. Ainsi, l'analyse du schéma VFmixte dans le cadre de l'approximation d'une équation de convection-diffusion-réaction a montré la convergence forte de la solution numériques dans L puissance Q (oméga) pour tout q < 2d /(d-2) et la convergence faible du gradient discret dans L puissance carré (oméga)puissance d ; oméga étant un ouvert de IRexposant d, d=2,3. Une analyse d'erreur a posteriori a également été menée, aussi bien pour le schéma DDFV que pour le schéma VFmixte, dans le cas d'une équation de diffusion. L'implémentation des indicateurs d'erreur pour DDFV a montré leur pertinence en termes de localisation de l'erreur. Nous menons enfin une étude numérique comparative des schémas CVFE, DDFV et VFdiamant dans le cadre de l'approximation de l'équation de la chaleur.

The First part of this thesis is devoted to the numerical simulation of two-phase flow in porous media and this has been done by an adaptative finite volume method. Using the global pressure approach proposed by G. Chavent this phenomenon is modeled by a set of elliptic equations in pressure coupled to a convection-diffusion equation in saturation. We use an upwind scheme to discretize a convection part and we approximate the diffusion part using the diamond scheme (VFdiamant). We prove the - stability of this discretization scheme in the pure convection case as well as in the pure diffusion case. The results obtained for some academic test cases on unstructured adaptive two-dimensional grids, are very similar to those contained in the literature. In the second part of the thesis, we study some finite volume schemes devoted to discretization of diffusion operators. Namely, we consider the following schemes: VFdiamant, DDFV developed by P. Omnes and K. Domelevo, VFmixte by J. Droniou and R. Eymard and CVFE developed by B. Amaziane and M. Afif. Thus, the convergence analysis of VFmixte applied to convection-diffusion-reaction equation has been conducted. It has shown the strong convergence of the numerical solution [. . . ] for all and the weak convergence of the discrete gradient [. . . ]. An a posteriori error analysis has also been conducted, for both DDFV and VFmixte, in the case of a diffusion equation. The implementation of error indicators for DDFV shows their efficiency in terms of localization of error. This study has been concluded by a numerical comparison of CVFE, DDFV and VFdiamant applied to theapproximate heat equation.