Quantum integrability and functional equations : Applications to the spectral problem of AdS/CFT and two-dimensional sigma models

par Dmytro Volin

Thèse de doctorat en Physique théorique

Sous la direction de Ivan Kostov et de Didina Serban.

Soutenue en 2009

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Équations intégrales
• Bethe, Ansatz de
• Champs de jauge (physique)

Titre traduit

= Intégralité quantique et équations fonctionnelles : Application au problème spectral AdS/CFT et modèles sigma bidimensionnels

Résumé

Dans cette thèse, on décrit une procédure permettant de représenter les équations intégrales de l’Ansatz de Bethe sous la forme du problème de Riemann-Hilbert. Cette procédure nous permet de simplifier l’étude des chaînes de spins intégrables apparaissant dans la limite thermodynamique. A partir de ces équations fonctionnelles, nous avons explicité la méthode qui permet de trouver l’ordre sous-dominant de la solution de diverses équations intégrales, ces équations étant résolues par la technique de Wiener-Hopf à l’ordre dominant. Ces équations intégrales ont été étudiées dans le contexte de la correspondance AdS/CFT où leur solution permet de vérifier la conjecture d’intégrabilité jusqu’à l’ordre de deux boucles du développement à fort couplage. Dans le contexte des modèles sigma bidimensionnels, on analyse le comportement d’ordre élevé du développement asymptotique perturbatif. L’expérience obtenue grâce à l’étude des représentations fonctionnelles des équations intégrales nous a permis de résoudre explicitement les équations de crossing qui apparaissent dans le problème spectral d’AdS/CFT.

Résumé

In this thesis is given a general procedure to represent the integral Bethe Ansatz equations in the form of the Reimann-Hilbert problem. This allows us to study in simple way integrable spin chains in the thermodynamic limit. Based on the functional equations we give the procedure that allows finding the subleading orders in the solution of various integral equations solved to the leading order by the Wiener-Hopf techniques. The integral equations are studied in the context of the AdS/CFT correspondence, where their solution allows verification of the integrability conjecture up to two loops of the strong coupling expansion. In the context of the two-dimensional sigma models we analyze the large-order behavior of the asymptotic perturbative expansion. Obtained experience with the functional representation of the integral equations allowed us also to solve explicitly the crossing equations that appear in the AdS/CFT spectral problem.