Théorèmes limites pour des processus de branchement et de coalescence spatiaux

Limit theorems for spatial branching and coalescent processes

• Auteur / Autrice : Amandine Véber
• Direction : Alison Etheridge, Jean-François Le Gall
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Homogénéisation (équations différentielles)

Résumé

Dans une premiere partie, on considere une famille indexee par 0<e<1/2 de super-mouvements browniens (resp. , de mouvements browniens branchants) critiques dont les particules sont tuees instantanement (resp. , a taux e) dans une collection G(e) d'obstacles distribues dans R^d suivant un processus ponctuel de Poisson. Dans le premier cas, G(e) est constitue de boules de rayon e et d'intensite proportionnelle a log(1/e) si d=2 et e^{2-d} si d>2, tandis que la configuration d'obstacles ne depend pas du parametre e pour les diffusions branchantes. On montre alors la convergence quenched de la loi des processus de branchement tues (eventuellement renormalises) lorsque e tend vers 0 vers celle d'un superprocessus dont les particules sont tuees de maniere homogene dans R^d. On en deduit des proprietes d'atteinte du complementaire d'un tres grand domaine par des mouvements browniens branchants faiblement tues. Dans une deuxieme partie, on s'interesse aux genealogies d'individus correspondant a des modeles particuliers de populations spatiales. Dans le cas du modele d'iles de Wright avec d’iles, on donne des conditions necessaires et suffisantes pour que le processus ancestral d'un nombre fini d'individus converge en loi vers un coalescent a collisions multiples et simultanees non-spatial lorsque D tend vers l'infini. On definit ensuite le processus Lambda-Fleming-Viot spatial et on en etudie les genealogies lorsque la population est repartie sur un tore de cote L et est soumise a des evenements de reproduction d'echelles spatiales et temporelles tres differentes. On etablit alors les differentes limites possibles des processus ancestraux associes lorsque L tend vers l'infini.

In a first part, we consider a family of critical super-Brownian motions (resp. , branching Brownian motions), indexed by 0<e<1/2, whose particles are killed instantaneously (resp. , at rate e) inside a collection G(e) of obstacles distributed according to a Poisson point process on R^d. In the first case, G(e) is made of balls of radius e and the intensity of the Poisson point process is proportional to log(1/e) if d=2 and e^{2-d} if d>2, whereas the obstacle configuration does not depend on e for the branching diffusions. We show the quenched convergence of the laws of the killed branching processes (possibly rescaled) as e tends to zero to that of a superprocess whose particles are killed homogeneously in R^d. Elaborating on this result, we establish hitting probabilities of the complement of a very large domain by weakly killed branching Brownian motion. In a second part, we are interested in genealogies of individuals corresponding to particular spatial population models. In the case of Wright's island model with D demes, we give necessary and sufficient conditions for the ancestral process of a sample of individuals to converge in law to a non-spatial coalescent with simultaneous multiple mergers, as D tends to infinity. We next define the spatial Lambda-Fleming-Viot process and study its genealogies when the population is distributed on a torus of side L and is subject to reproduction events of different time- and space-scales. We then establish the different possible limits for the corresponding ancestral processes as L tends to infinity.