Thèse soutenue

Algèbres de Lie de dimension infinie et théorie de la descente
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Wilhelm Alexander Steinmetz
Direction : Philippe Gille
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

FR

Résumé

FR  |  
EN

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro et soit R l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k. La motivation principale de ce travail est l’étude d’une classe d’algèbres de Lie de dimension infinie sur k, appelées extended affine Lie algebras (EALAs). Ces algèbres correspondent à des torseurs sous des groupes algébriques linéaires sur R. On établit dans ce travail une classification de R–torseurs sous des groupes de type classique de rang assez grand (sous une hypothèse plus forte pour les groupes de type A intérieur) et on obtient ainsi des résultats sur les EALAs mentionnées ci-dessus. On obtient également une variante de la conjecture de Serre II pour l’anneau R : tout torseur lisse sur R sous un groupe semi-simple simplement connexe de type classique B, C ou D de rang assez grand est trivial. La stratégie pour démontrer les résultats principaux est la suivante : les torseurs sous les groupes classiques correspondent à des algèbres d’Azumaya à involutions et à des formes hermitiennes et quadratiques. On calcule les groupes de Witt et les K-groupes correspondants à l’aide de suites spectrales dues à Panin, Suslin et S. Gille. Ensuite on utilise des résultats de simplification pour obtenir une classification des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de rang assez grand sur R et ainsi une classification de certains torseurs sur R.