Modélisation mathématique du poumon humain

par Christine Vannier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bertrand Maury.

Soutenue en 2009

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Arbre dyadique
• Arbre résistif infini
• Indexation libre
• Poumon
• Équations d'onde

Résumé

Nous nous intéressons à certains problèmes théoriques posés par la modélisation du poumon humain comme arbre bronchique plongé dans le parenchyme pulmonaire. L'arbre bronchique est représenté par un arbre dyadique résistif à 23 générations dans lequel un écoulement de Stokes a lieu. La loi de Poiseuille relie ainsi le débit dans chaque bronche au saut de pression à ses extrémités. Cet arbre est ensuite plongé dans un milieu visco-élastique modélisant le parenchyme. Le processus de ventilation est alors assuré par des pressions négatives, dues à une contraction du diaphragme, au niveau des alvéoles permettant l'inspiration. La première partie est consacrée à l'introduction d'un modèle d'arbre infini obtenu en faisant tendre le nombre de générations vers l'infini. Des théorèmes de trace permettent alors de modéliser le processus de ventilation comme un opérateur Dirichlet-Neumann, qui associe au champ de pression sur l'ensemble des bouts de l'arbre infini le continuum de débit sortant. La seconde partie est dédiée à l'étude de modèles du parenchyme pulmonaire. La complexité du parenchyme, milieu visco-élastique, provient de la présence de l'arbre qui relie toutes les alvéoles entre elles. Des phénomènes de dissipation non locaux sont ainsi observés dus aux couplages de toutes les sorties. Nous étudions tout d'abord un modèle monodimensionnel du parenchyme mettant en jeu une équation de type onde avec des effets non locaux. En particulier nous détaillons l'étude du comportement en temps long. Enfin, nous proposons l'ébauche d'un modèle du parenchyme en dimension supérieure prenant en compte à la fois le caractère élastique du tissu ainsi que la présence de l'arbre résistif.

Titre traduit

Mathematical modelling of the human lung

Résumé

The present work addresses some theoretical issues raised by the modelling of the bronchial tree and its interactions with the parenchyma in which it is embedded. The bronchial tree is represented by a resistive dyadic tree with 23 generations, through which the air flow is described by the Stokes equations. According to Poiseuille's law, the flow rate through a pipe is proportional to the drop in pressure between its ends. This tree is embedded in a viscoelastic medium which is intending to represent the parenchyma. The ventilation process is caused by negative pressures, due to diaphragm contractions at the alveolar level. In the first part, we treat the bronchial tree as an infinite resistive tree letting the number of generations go to infinity. With the help of trace theorems, the ventilation process can be described by a Dirichlet-Neumann operator, which relates the pressure field at the boundary of the tree to the outward flux. The second part explores some models of the parenchyma. The complexity of this viscoelastic medium derives from the fact that the tree connects all the alveolae. This coupled system causes some non local dissipation effects and calls for non-standard damping models. We first study a one-dimensional model of the parenchyma involving a wave-like partial differential equation with non-local dissipative term. We specially focus on the long time behavior of this system. We finally propose a new model for higher dimensions taking into account both the elasticity of the parenchyma and the resistive tree