Géométrie non-commutativeThéorie de jauge et renormalisation

par Axel Marcillaud de Goursac

Thèse de doctorat en Physique théorique

Sous la direction de Jean Christophe Wallet et de Raimar Wulkenhaar.

Soutenue en 2009

à Paris 11 en cotutelle avec l'Université de Münster , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Calcul différentiel non-commutatif
• Géométrie différentielle non commutative
• Théorie quantique des champs
• Champs de jauge (physique)
• Groupe de renormalisation
• Calcul différentiel

Résumé

De nos jours, la géométrie non-commutative est un domaine grandissant des mathématiques, qui peut apparaître comme un cadre prometteur pour la physique moderne. Les théories quantiques des champs sur des « espaces non-commutatifs » ont en effet été très étudiées, et sont sujettes à un nouveau type de divergence, le mélange ultraviolet-infrarouge. Cependant, une solution a récemment été apportée à ce problème par H. Grosse et R. Wulkenhaar en ajoutant à l’action d’un modèle scalaire sur l’espace non-commutatif de Moyal, un terme harmonique qui le rend renormalisable. Le but de cette thèse est l’extension de cette procédure aux théories de jauge sur l’espace de Moyal. En effet, nous avons introduit une nouvelle théorie de jauge non-commutative, fortement reliée au modèle de Grosse-Wulkenhaar, et candidate à la renormalisabilité. Nous avons ensuite étudié ses propriétés les plus importantes, notamment ses configurations du vide. Finalement, nous donnons une interprétation mathématique de cette nouvelle action en terme de calcul différentiel basé sur les dérivations, associé à une superalgèbre.

Titre traduit

Noncommutative geometry : Gauge theory and renormalization

Résumé

Nowadays, noncommutative geometry is a growing domain of mathematics, which can appear as a promising framework for modern physics. Quantum field theories on “noncommutative spaces” are indeed much investigated, and suffer from a new type of divergence called the ultraviolet-infrared mixing. However, this problem has recently been solved by H. Grosse and R. Wulkenhaar by adding to the action of a noncommutative scalar model an harmonic trem, which renders it renormalizable. The aim of this thesis is the extension of this procedure to gauge theories on the Moyal space. Indeed, we have introduced a new noncommutative gauge theory, strongly related to the Grosse-Wulkenhaar model, and candidate to renormalizability. We have then studied the most important properties of this action, and in particular its vacuum configurations. Finally, we give a mathematical interpretation of this new action in terms of a derivation-based differential calculus associated to a superalgebra.