Programmer, calculer et raisonner avec les réseaux de la logique linéaire

par Stéphane Gimenez

Thèse de doctorat en Informatique fondamentale

Sous la direction de Thomas Ehrhard.

Soutenue en 2009

à Paris 7 .

mots clés

• Logique mathématique
• Lambda-calcul
• Calcul différentiel
• Algèbre linéaire

Résumé

La première partie propose divers systèmes de réseaux d'interaction (calcul par réécriture muni d'une réduction atomique, locale et parallèle) qui simulent l'exécution des preuves de la logique linéaire (considérées comme des programmes). Les différents fragments de cette logique sont abordés, on y ajoute aussi une récursion pour atteindre l'expressivité des langages de programmation usuels. Ce procédé de simulation permet d'exécuter certains langages à l'aide d'une petite machine d'exécution multi-processeurs. Il s'appuie sur des représentations localisées de boîtes issues des réseaux de preuve ; certaines utilisent avantageusement un canal de contrôle pour ne rien perdre de la structure des preuves représentées. La deuxième partie parle de logique linéaire différentielle et de ses ressources à usage unique. On la munit d'une super-promotion, qui se distingue notamment d'une promotion ordinaire parce qu'elle préserve la symétrie originelle de ce formalisme. C'est la pendante côté logique de la réplication qu'on trouve parfois dans les algèbres de processus. On arrive à isoler l'un de ses composants plus primitifs, le co-enfouissement, responsable de leur dynamique incontrôlée (pour l'instant). Cette construction peut être exprimée dans la syntaxe du lambda-calcul avec ressources ou dans un système de réseaux. La séquentialisation de ces derniers requiert une présentation originale de la logique, fondée sur un calcul de structures, et qui a potentiellement d'autres intérêts. Il est aussi question de réalisabilité pour les systèmes différentiels et de sémantique relationnelle pour les divers réseaux présentés.

Titre traduit

Programming, computation and Reasoning using Nets from Linear Logic

Résumé

The fïrst part describes various Systems of interaction nets (calculus using rewriting whose reduction is atomic, local and parallel) which simulate the execution of linear logic proofs (considered as programs). The different fragments of this logic are discussed, and a recursion construct is added to reach the expressiveness of common programming languages. The simulation method that was developed allows the execution of programs written in certain languages using a small multi-processor virtual machine. It relies on localized representations of boxes coming from proof nets; sortie of them advantageously use a control channel to avoid losing structure from the proofs they represent. The second part is devoted to differencial linear logic and its single-use resources. It presents a super-promotion which, unlike the usual promotion, preserves the original symmetry of this formalism. This construction is the logical counterpart of the replication which can be found in some process algebras. We managed to isolate one of its more primitive components, namely co-digging, which is responsible for their (still) uncontrolled dynamic. Super-promotion can be expressed in the syntax of lambda-calculus with resources or in Systems of nets. Sequentialization of the latter requires a specific presentation of logic, based on a calculus of structures, which might open some other perspectives. Realizability for differential Systems and relational semantics for the various nets we consider are also discussed.