K-set Polygones et Triangulations Centroïdes

K-set Polygons and Centroid Triangulations

• Auteur / Autrice : Wael El Oraiby
• Direction : Jean-Claude Spehner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 09/10/2009
• Etablissement(s) : Mulhouse
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale pluridisciplinaire Jean-Henri Lambert, ED 494 (Mulhouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications

Mots clés

Mots clés contrôlés

Voronoi, Polygones de

Géométrie combinatoire

Géométrie algorithmique

Mots clés libres

Géométrie algorithmique

Géométrie combinatoire

K-sets

K-set polygones

Chaînes d'inclusion de convexes

Triangulations centroïdes

Diagrammes de Voronoï

Triangulations de Delaunay

Computational geometry

Combinatorial geometry

Convex inclusion chains

Centroid triangulations

Voronoi diagrams

Delaunay triangulations

Résumé

Cette thèse est une contribution à un problème classique de la géométrie algorithmique et combinatoire : l’étude des k-sets d’un ensemble V de n points du plan. Nous introduisons d’abord la notion de chaîne d’inclusion de convexes qui est un ordonnancement des points de V tel qu’aucun point n’appartient à l’enveloppe convexe de ceux qui le précèdent. Tout k-set d’une sous-suite commençante de la chaîne est appelé un k-set de la chaîne. Nous montrons que le nombre de ces k-sets est un invariant de V et qu’il est égal au nombre de régions du diagramme de Voronoï d’ordre k de V. Nous en déduisons un algorithme en ligne pour construire les k-sets des sommets d’une ligne polygonale simple dont chaque sommet est à l’extérieur de l’enveloppe convexe des sommets qui le précèdent sur la ligne. Si c est le nombre total de k-sets construits, la complexité de notrealgorithme est en O(n log n+c log^2 k) et est équivalente, par k-set construit, à celle du meilleur algorithme connu. Nous montrons ensuite que la méthode algorithmique classique de division-fusion peut être adaptée à la construction des k-sets de V. L’algorithme qui en résulte a une complexité enO(n log n+c log^2 k log(n/k)), où c est le nombre maximum de k-sets d’un ensemble de n points.Nous prouvons enfin que les centres de gravité des k-sets d’une chaîne d’inclusion de convexes sont les sommets d’une triangulation qui appartient à la même famille de triangulations, dites centroïdes, que le dual du diagramme de Voronoï d’ordre k. Nous en d´déduisons un algorithme qui construit des triangulations centroïdes particulières en temps O(n log n+k(n-k) log^2 k), ce qui est plus efficace que les algorithmes connus jusque là.

This thesis is a contribution to a classical problem in computational and combinatorial geometry: the study of the k-sets of a set V of n points in the plane. First we introduce the notion of convex inclusion chain that is an ordering of the points of V such that no point is inside the convex hull of the points that precede it. Every k-set of an initial sub-sequence of the chain is called a k-set of the chain. We prove that the number of these k-sets is an invariant of V and is equal to the number of regions in the order-k Voronoi diagram of V. We then deduce an online algorithm for the construction of the k-sets of the vertices of a simple polygonal line such that every vertex of this line is outside the convex hull of all its preceding vertices on the line. If c is the total number of k-sets built with this algorithm, the complexity of our algorithm is in O(n log n + c log^2k) and is equal, per constructed k-set, to the complexity of the best algorithm known. Afterward, we prove that the classical divide and conquer algorithmic method can be adapted to the construction of the k-sets of V. The algorithm has a complexity of O(n log n + c log^2k log(n/k)), where c is the maximum number of k-sets of a set of n points. We finally prove that the centers of gravity of the k-sets of a convex inclusion chain are the vertices of a triangulation belonging to the family of so-called centroid triangulations. This family notably contains the dual of the order-k Voronoi diagram. We give an algorithm that builds particular centroid triangulations in O(n log n + k(n- k) log^2 k) time, which is more efficient than all the currently known algorithms.