Thèse soutenue

Sur l'algèbre et la combinatoire des sous-graphes d'un graphe
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Auteur / Autrice : Xavier Buchwalder
Direction : John Adrian Bondy
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 30/11/2009
Etablissement(s) : Lyon 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) - Institut Camille Jordan - Institut Camille Jordan [Villeurbanne]
Jury : Président / Présidente : Shalom Eliahou
Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Thiéry, Maurice Pouzet, Jorge L. Ramírez Alfonsín
Rapporteurs / Rapporteuses : Peter J. Cameron, Alexander Schrijver

Résumé

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On introduit une nouvelle structure algébrique qui formalise bien les problèmes de reconstruction, assortie d’une conjecture qui permettrait de traiter directement des symétries. Le cadre fournit par cette étude permet de plus d’engendrer des relations qui ont lieu entre les nombres de sous-structures, et d’une certaine façon, la conjecture formulée affirme qu’on les obtient toutes. De plus, la généralisation des résultats précédemment obtenus pour la reconstruction permet de chercher `a en apprécier les limites en recherchant des cas où ces relations sont optimales. Ainsi, on montre que les théorèmes de V.Müller et de L.Lovasz sont les meilleurs possibles en exhibant des cas limites. Cette généralisation aux algèbres d’invariants, déjà effectuée par P.J.Cameron et V.B.Mnukhin, permet de placer les problèmes de reconstruction en tenaille entre d’une part des relations (fournies) que l’on veut exploiter, et des exemples qui établissent l’optimalité du résultat. Ainsi, sans aucune donnée sur le groupe, le résultat de L.Lovasz est le meilleur possible, et si l’on considère l’ordre du groupe, le résultat de V.Müller est le meilleur possible.