Études combinatoires sur les permutations et partitions d'ensemble

par Anisse Kasraoui

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jiang Zeng.

Soutenue en 2009

à Lyon 1 , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec ICJ - Institut Camille Jordan (Rhône ; 2003-....) (autre partenaire) .

Le président du jury était Laurent Habsieger.

Le jury était composé de Jean-Christophe Novelli, Sylvie Corteel.

Les rapporteurs étaient Ira Gessel, Guoniu Han, Xavier Gérard Viennot.

mots clés

• Combinatoire énumérative
• Partitions et permutations
• Statistiques mahoniennes et Euler-Mahoniennes
• Q-nombres eulériens et de Stirling
• Croisements et imbrications d'arcs
• Indice majeur et nombre d'inversions
• Q-polynômes orthogonaux de Laguerre
• Polynômes d'Al-Salam-Chihara
• Coefficients de linéarisation
• Analyse combinatoire
• Partitions (mathématiques)
• Polynômes orthogonaux
• Laguerre, Polynômes de

Résumé

Cette thèse regroupe plusieurs travaux de combinatoire énumérative sur les permutations et permutations d'ensemble. Elle comporte 4 parties. Dans la première partie, nous répondons aux conjectures de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble. Plus précisément, nous montrons que les statistiques de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble ont la distribution euler-mahonienne. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions une nouvelle classe de statistiques sur les mots : les statistiques "maj-inv". Ces dernières sont des interpolations graphiques des célèbres statistiques "indice majeur" et "nombre d'inversions". Dans la troisième partie, nous montrons que la distribution conjointe des statistiques"nombre de croisements" et "nombre d'imbrications" sur les partitions d'ensemble est symétrique. Nous étendrons aussi ce dernier résultat dans le cadre beaucoup plus large des 01-remplissages de "polyominoes lunaires". La quatrième et dernière partie est consacrée à l'étude combinatoire des q-polynômes de Laguerre d'Al-Salam-Chihara. Nous donnerons une interprétation combinatoire de la suite de moments et des coefficients de linéarisations de ces polynômes.

Titre traduit

Combinatorial studies on set partitions and permutations

Résumé

This thesis consists of four chapters, each on a different topic in enumerative combinatorics, all related in some way to the enumeration of permutations or set partitions. In the first chapter, we prove and generalize Steingrimsson's conjectures on Euler-Mahonian statistics on ordered set partitions. In the second chapter, we introduce and study a new class of statistics on words: the "maj-inv" statistics. These are graphical interpolation of the well-known "major index" and "inversion number". In the third chapter, we show that the joint distribution of the numbers of crossings and nestings on set partitions is symmetric. We also put this result in the larger context of enumeration of increasing and decreasing chains in 01-fillings of moon polyominoes. In the last chapter, we decribe various aspects of the Al-Salam-Chihara q-Laguerre polynomials. These include combinatorial descriptions of the polynomials, the moments, the orthogonality relation and a combinatorial interpretation of the linearization coefficients.