Assimilation de données : les propriétés asymptotiques du filtre Kalman d'ensemble

Data assimilation : the asymptotic properties of the ensemble Kalman filter

• Auteur / Autrice : Vu Duc Tran
• Direction : Valérie Monbet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Statistiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Lorient
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Océanographie

Kalman, Filtrage de

Mots clés libres

Assimilation de données

Résumé

Cette thèse porte sur les méthodes d'assimilation de données, qui consistent à combiner des informations provenant d'un modèle dynamique avec des observations. Nous présentons des méthodes d'assimilation les plus connues: l'interpolation statistique, les méthodes variationnelles d'assimilation de données et les méthodes séquentielles d'assimilation de données. Nous nous intéressons particulièrement au filtre de Kalman d'ensemble qui est de plus en plus utilisé dans les applications océanographiques. Le filtre de Kalman d'ensemble a été proposé initialement comme une approximation du filtre de Kalman pour les modèles linéaires gaussiens de grande dimension, il a ensuite été étendu au cas du modèle non linéaire gaussien. Il existe très peu de résultats théoriques sur les propriétés asymptotiques du filtre de Kalman d'ensemble, alors qu'il est connu que le filtre particulaire converge vers le filtre bayésien optimal quand le nombre de particules tend vers l'infini. Nous démontrons dans cette thèse que, quand le nombre d'éléments tend vers l'infini, dans le cas où la fonction du modèle dynamique est continue et localement lipschitzienne avec un accroissement au plus polynomial à l'infini, les éléments du filtre de Kalman d'ensemble convergent vers les éléments indépendants et identiquement distribués selon une loi qui diffère de la loi a posteriori du filtre bayésien optimal dans le cas général. Dans le cas du modèle linéaire gaussien, cette loi asymptotique n'est autre que la loi a posteriori du filtre de Kalman. Nous présentons aussi des résultats de simulations du filtre de Kalman d'ensemble et du filtre particulaire sur un modèle linéaire gaussien simple et sur le modèle de Lorenz afin de comparer la performance des deux filtres à l'asymptotique et aussi dans le cas où le nombre d'éléments d'ensemble est faible.

This thesis is concerned with the data assimilation methods which combine the dynamical model with the observations. We present the well-known methods: statistical interpolation, variational data assimilation methods and sequential data assimilation methods. We are particularly interested in the Ensemble Kalman Filter (EnKF) which is more and more used in the oceanographic applications. The Ensemble Kalman Filter has been initially proposed as approximation of the Kalman filter in the case of linear Gaussian model of huge dimension, it has been then extended for the non linear Gaussian models. Very little is known about its asymptotic behaviour, whereas the particle filters have a well understood convergence to the Bayesian filter. We prove the convergence of the EnKF, as the number of ensemble elements increases to infinity. In the linear case, the limit of the empirical distribution of the ensemble elements is the usual (Gaussian distribution associated with the) Kalman filter. In the more general case where the state equation is locally Lipschitz continuous with at most polynomial growth at infinity, this limit differs from the usual Bayesian filter. We present the simulation results on a simple linear Gaussian model and on the Lorenz model, where we compare the performance of the EnKF and the particle filter, as the number of ensemble elements is small and as it increases to infinity.