Reconnaissance de codes, structure des codes quasi-cycliques

par Christophe Chabot

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Thierry Berger et de Nicolas Sendrier.

Soutenue en 2009

à Limoges , en partenariat avec Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Codes quasi-cycliques
• Codes cycliques
• Structure de codes
• Reconnaissance de codes
• Analyse du train binaire
• Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)
• Codes convolutifs
• Cycles

Résumé

Dans cette thèse, nous abordons tout d'abord le problème de reconnaissance de codes. Il consiste à retrouver la structure d'un code correcteur d'erreurs utilisé lors d'une transmission de données seulement à partir de la séquence bruitée interceptée. Nous donnons ici des méthodes efficaces pour la reconnaissance d'un code connu, pour la reconstruction de codes appartenant à une famille tels que les codes cycliques et pour la détection des paramètres de codes convolutifs. Ensuite, nous étudions la structure des codes quasi-cycliques parallèlement aux résultats connus pour les codes cycliques. Nous donnons une construction d'une sous-famille de codes quasi-cycliques annulés par un polynôme à coefficients matriciels. Cette construction permet de trouver des codes ayant de bonnes distances minimales. Finalement, nous nous intéressons aux permutations laissant invariante la quasi-cyclicité d'un code.

Titre traduit

Recognition of codes, structure of quasi-cyclic codes

Résumé

In this thesis, we first deal with the problem of recognition of codes. It consists in recovering the structure of an error-correcting code used during a data transmission only from the noisy intercepted sequence. We give efficient methods for the recognition of a known code, for the reconstruction of codes belonging to a family like cyclic codes and for the detection of parameters of convolutional codes. Then, we study the structure of quasi-cyclic codes in parallel of the results known for cyclic codes. We give a construction of a sub-family of quasi-cyclic codes cancelled by a polynomial with matricial coefficients. Some of these codes reach large minimum distances. Finally, we deal with permutations keeping the quasi-cyclicity of a code.