Thèse soutenue

Formes quasi-modulaires et développement de Taylor de formes modulaires de Siegel
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Auteur / Autrice : Patrick Lemaire
Direction : Valery A. Gritsenko
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques pures
Date : Soutenance le 10/12/2009
Etablissement(s) : Lille 1

Résumé

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Le premier exemple de formes quasi-modulaires est la série d’Eisenstein G2, qui est une forme quasi-modulaire pour SL(2,Z) et qui joue un rôle fondamental dans la structure de ces formes. En particulier, ces formes apparaissent quand on étudie les développements de Taylor par rapport à la variable abélienne des formes modulaires de Jacobi. Dans cette thèse, nous décrivons de nouvelles formes quasi-modulaires en plusieurs variables: les formes quasi-modulaires pour SL(2,Z)×SL(2,Z) et les formes quasi-modulaires sur les groupes orthogonaux. Les premières sont associées aux développements de Taylor des formes modulaires de Siegel. Les secondes apparaissent lors de l’étude des coefficients de Taylor en certains points des formes modulaires pour un réseau quadratique de signature(2, n).Nous menons des calculs explicites dans le cas des formes modulaires de Siegel pour les groupes paramodulaires en donnant les premiers coefficients de Taylor en z = 0 des formes modulaires fondamentales 1/2 ( la série théta de Siegel de caractéristique 2), 1, 2, 5et 35(les deux dernières sont les formes modulaires d’Igusa) et quelques autres formes reflexives introduites par V.Gritsenko et V.Nikulin dans la théorie des algèbres de Kac-Moody hyperboliques.Les formes modulaires en question sont aussi importantes dans la géométrie algébrique (la théorie des espaces de modules des surfaces abéliennes et des surfaces de Kummer) etdans la physique (la théorie de cordes). Les développements de Taylor des formes modulaires sur les groupes orthogonaux O(2, n) jouent par exemple un rôle important dans la théorie des espaces de modules des surfaces K3 polarisées.