Études théoriques et numériques de quelques problèmes inverses

par Houcine Meftahi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Slim Chaabane et de Franck Wielonsky.

Soutenue le 14-12-2009

à Lille 1 en cotutelle avec École nationale d'ingénieurs de Tunis (Tunisie) .

mots clés

• Gradient topologique
• Gradient de forme
• Problèmes inverses
• Estimation de paramètres
• Hardy, Espaces de
• Sobolev, Espaces de
• Approximation, Théorie de l'
• Élasticité linéaire
• Moindres carrés

Résumé

Le travail de la thèse concerne l'étude de quelques problèmes inverses par différents approches mathématiques. Dans la première partie, nous considérons le problème inverse géométrique consistant à retrouver une fissure ou cavité(s) inconnue à partir de mesures sur le bord d'un domaine plan. Nous traitons ce problème par des techniques d'approximation rationnelle et méromorphe dans le plan complexe. Nous étudions un autre problème inverse consistant à estimer l'aire d'une cavité. Nous donnons une majoration explicite de l'aire de la cavité. Cette majoration est basée sur une estimation de croissance dans l'espace de Hardy­-Sobolev de la couronne. Nous appliquons également cette estimation pour donner la vitesse de comvergence d'un schéma d'ïnterpolation d'une fonction de l'espace de Hardy-Sobolev de la couronne. Dans la deuxième partie, nous considérons d'abord le problème inverse d'identification des paramètres de Lamé en élasticité linéaire. Nous transformons ce problème en un problème de minimisation et nous exhibons quelques exemples numériques. Nous considérons également le problème inverse d'identification d'une inclusion correspondant à une discontinuité de la conductivité. Nous utilisons la méthode du gradient topologique pour une première approximation et ensuite la méthode du gradient classique pour identifier plus précisément celles-ci. Enfin, nous étudions un problème inverse d'identification d'une inclusion en élasticité linéaire. Nous utilisons le gradient de forme pour retrouver numériquement des inclusions elliptiques.

Titre traduit

Theorical and numerical study of some inverse problems

Résumé

This work concerns the study of some inverse problems by different mathematical approaches. ln the first part, we consider the geometrical inverse problem. related to the identification of an unknown crack or inclusion(s) by boundary measurements. We treat this problem by technique of rational and meromorphic approximation in the complex plane. We study another inverse problem, namely estimating the area of a cavity. We derivive an explicit upper bound on the area of the cavity. We also aplly this estimation, to find an upper bound on the rate of convergence of a recovery interpolation schema in the Hardy-Sobolev space of an annulus. ln the second part. we first consider the inverse problem of recovering the Lamé parameters in linear elasticity from boundary measurements. we perform numerical experiments. We also consider the inverse problem or identification of an inclusion corresponding to a discontinuity of the conductivity. We use the method of the topological gradient to obtain a first estimate on the location of one or several inclusions and then, we use the method of the classical gradient to identify more precisely these. Finally. in the context of shape optimization, we study the inverse problem of identification of an inclusion in linear elasticity. We calculate the shape gradient of a functional of Kohn-Vogelius type, minmax of a lagrangian with respect to the parameter of deformation. We use this gradient to numerically flnd elliptic inclusions