Géométrie différentielle des fibrés vectoriels et algèbres de Clifford appliquées au traitement d'images multicanaux

par Thomas Batard

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Michel Berthier.

Soutenue en 2009

à La Rochelle .

mots clés

• Clifford, Algèbres de
• Fourier, Transformations de
• Traitement d'images -- Techniques numériques
• Spectroscopie

Résumé

Dans cette thèse, nous introduisons l'utilisation des fibrés vectoriels pour le traitement d'image. Nous nous intéressons dans un premier temps à la segmentation d'images multicanaux. En utilisant le cadre des fibrés en algèbre de Clifford, nous montrons que le choix d'une segmentation d'une image est directement lié au choix d'une métrique, d'une connexion et d'une section sur un tel fibré. La deuxième partie est consacrée à la régularisation. Nous montrons que la plupart des EDP's utilisées pour la régularisation d'image peuvent être considérées comme des équations de la chaleur généralisées sur des fibrés vectoriels. En particulier, en considérant l'équation de la chaleur associée à l'opérateur de Hodge sur le fibré de Clifford d'une variété Riemannienne bien choisie, nous obtenons un cadre global pour régulariser de manière anisotrope des images(vidéos) multicanaux, et des champs s'y rapportant tels des champs de vecteurs ou des champs de repères orthonormés. Enfin, nous mentionnons quelques travaux en cours comme l'utilisation de fibrés en algèbre de Clifford de groupe de structure Spin(4,1), ainsi que de la représentation spinorielle de surfaces.

Titre traduit

Differential geometry of vector bunles and Clifford algebras applied to multichannel images processing

Résumé

In this thesis, we introduce the use of vector bundles in the image processing context. In the first part, we are interested in multichannel image segmentation. By the use of Clifford algebras bundles, we show that segment an image is related with the choice of a metric, a connexion and a section of such bundles. The second part is devoted to regularization. We show that most PDE's appearing in image regularization problems may be viewed as generalized heat equations on vector bundles. In particular, we consider the heat equation associated to the Hodge operator on the Clifford bundle of a well-chosen Riemannian manifold. Then we obtain a common framework for anisotropic regularization of images (videos) and related fields such as vector fields and orthonormal frame fields. Finally, we mention some current works such as the use of Clifford algebras bundle with structure group Spin(4,1), as well as the spin representation of surfaces.