Systèmes quantiques d'interactions répétées : l'approche perturbative

par Rodrigo Vargas Le-Bert

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Alain Joye.

Soutenue en 2009

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015) .

mots clés

• Développements asymptotiques
• Groupes quantiques

Résumé

Les systèmes quantiques d'interactions répétées sont des modèles à la fois simples et flexibles qui apparaîssent de façon naturelle dans plusieurs domaines, dont notamment l'optique quantique et la théorie des bruits quantiques. Dans cette thèse, on s'est intéressé à leur étude perturbative. On a généralisé un théorème dû a Attal et Joye [Attal and Joye, Weak Coupling and Continuous Limits for Repeated Quantum Interactions, J. Stat. Phys. , 126, (2007)] sur l'existence de limite de van Hove pour ces systèmes au cadre des algèbres de von Neumann quelconques. Ensuite, on a montré que si le système de référence est de dimension fini, alors l'existence d'un état asymptotique unique pour la limite de van Hove implique la convergence vers un état asymptotique périodique unique pour le système de référence, pourvu que le paramètre de perturbation soit suffisamment petit. De plus, le terme d'ordre zéro du développement en puissances du paramètre de perturbation de cet état asymptotique périodique coïncide avec l'état asymptotique de la limite de van Hove, sauf pour la différence d'échelle temporelle qui doit être prise en compte (donnant lieu à la periodicité). Ce résultat est important pour la justification physique de l'utilisation du formalisme thermodynamique dans le régime de couplage faible développé dans [Lebowitz and Spohn, Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978)].

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Titre traduit

Repeated quantum interaction systems : the perturbative approach

Résumé

Repeated interaction quantum systems are both simple and flexible models which arise naturally in several domains including, particularly, quantum optics and the theory of quantum noises. In this thesis, I became interested in their perturbative study. I generalized a theorem by Attal and Joye [Weak Coupling and Continuous Limits for Repeated Quantum Interactions, J. Stat. Phys. , 126, (2007)] on the existence of van Hove limit for those systems to the framework of general von Neumann algebras. Then, I proved that, when the reference system is finite dimensional, the existence of a unique asymptotic state for its van Hove limit implies the convergence of the reference system's state towards a unique periodic asymptotic state, provided that the perturbation parameter is sufficiently small. Moreover, the zero-th order term in a power series expansion on the perturbation parameter of this periodic asymptotic state coincides with the asymptotic state of the van Hove limit, except for their difference in time scale which has to be taken into account (giving rise to the periodicity). This result is important in the physical justification for the use of the thermodynamic formalism in the weak coupling regime developed in [Lebowitz and Spohn, Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978)].