Une approche eulérienne du couplage fluide-structure : analyse mathématique et applications en biomécanique

par Thomas Milcent

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Georges-Henri Cottet.

Soutenue en 2009

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015) .

mots clés

• Interaction fluide-structure
• Interaction fluide-structure

Résumé

L'interaction d'une structure élastique et d'un fluide incompressible intervient dans de nombreux phénomènes physiques. C'est le cas en biomécanique où une vésicule biologique se déforme dans un fluide. Nous considérons une formulation eulérienne de la méthode de frontière immergée. Une fonction level set est utilisée afin de capturer l'interface et de prendre en compte une partie de l'élasticité de la membrane. La première partie est consacrée à un théorème d'existence local en temps pour ce modèle. Nous ajoutons au modèle une énergie de flexion dépendant de la courbure qui permet en particulier d'obtenir les formes d'équilibre des vésicules. Dans la deuxième partie nous comparons différentes méthodes d'optimisation de formes pour calculer la force associée à cette énergie. Nous prouvons que ces approches conduisent à des résultats identiques. En application, nous présentons dans la dernière partie des simulations numériques de formes d'équilibre et de cisaillement de vésicules.

Titre traduit

An eulerian approach to fluid-structure interaction : mathematical analysis and applications to biomechanics

Résumé

The interaction of an elastic structure and an incompressible fluid occurs in many phenomena in physics. This is the case in biomechanics where an elastic vesicle is immersed in a fluid. In this context, we consider a eulerian formulation of the immersed boundary method. A level set function is used to capture the interface and take into account the elasticity of the membrane. The first part is devoted to a theorem of local existence in time for this model. The demonstration is based on apriori non hilbertian estimates. We add to the model an bending energy depending on the curvature which allows in particular to obtain the equilibrium shapes of vesicles. In the second part we compare different methods of shape optimization to compute the force associated with this energy. We prove that these approaches lead to identical results. In application, we present in the latter part numerical simulations of equilibrium shapes and shear of vesicles.