Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Ana Rechtman
Direction : Étienne Ghys
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : École normale supérieure (Lyon ; 1987-2009)

Résumé

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Dans ce travail, nous nous interessons a deux questions. La premiere est de savoir si les champs de vecteurs non singuliers et geodesibles sur une variete fermee de dimension trois ont des orbites periodiques. La seconde, etudie les relations entre les feuilletages moyennables et les feuilletages dont toutes les feuilles sont Følner. L’idee commune dans ces deux problemes est l’utilisation de pieges: un outil qui nous permet de changer un feuilletage a l’interieur d’une carte feuilletee. Dans le premier chapitre nous abordons la premiere question. On dit qu’un champ de vecteurs non singulier est geodesible s’il existe une m´etrique riemannienne sur la variete ambiante pour laquelle toutes les orbites sont des g´eod´esiques. Soit X un tel champ de vecteurs sur une variete fermee de dimension trois. Supposons que la variete est diffeomorphe a S3 ou son deuxieme groupe d’homotopie est non trivial. Pour ces varietes, on montre que si X est analytique reel ou s’il preserve une forme volume, il possede une orbite periodique Le deuxieme chapitre est dedie a la seconde question. En 1983, R. Brooks avait annonce qu’un feuilletage dont presque toutes les feuilles sont Følner est moyennable. A l’aide d’un piege, on va construire un contre-exemple a cette affirmation, c’est-a-dire un feuilletage non moyennable dont toutes les feuilles sont Følner. Nous cherchons ensuite des conditions suffisantes sur le feuilletage pour que l’enonce de R. Brooks soit valable. Comme suggere par V. A. Kaimanovich, une possibilite est supposer que le feuilletage soit minimal. On montre que cette hypoth`ese est suffisante en utilisant un theoreme de D. Cass que decrit les feuilles minimales.