Analyse quantitative paramétrée d'automates temporisés probabilistes

par Najla Chamseddine

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Laurent Fribourg.

Soutenue en 2009

à Cachan, Ecole normale supérieure .

mots clés

• Méthodes formelles (informatique)
• Automates mathématiques, Théorie des
• Markov, Processus de
• Probabilités
• Traitement réparti

Résumé

Nous considérons une sous classe d'automates temporisés probabilistes où les contraintes temporelles au niveau des gardes et des invariants sont exprimées par des paramètres. Cette sous classe est appelée la classe des automates Temporisés Probabilistes Paramétrés Semi Déterminés (ATPP Semi Déterminés). Cette classe d'automates se définit en particulier par l'attribution d'une unique distribution à chaque état et par des gardes de la forme x<=a où a est un paramètre ou un entier naturel. Nous imposons de plus deux propriétés sur ces automates qui sont celles de non blocage et fortement non zenon. Notre travail vise à calculer le temps moyen maximal de convergence vers un état dit absorbant q_end dans ce type d'automates. L'unique méthode traitant déjà ce type de problème fait appel à la discrétisation du temps et à l'application de techniques de programmation linéaire. Elle est cependant exponentielle car elle dépend du nombre d'horloges et de la plus grande constante à laquelle sont comparées les horloges, lors de la discrétisation. Le graphe résultant peut être de taille exponentielle. Pour tout ATPP Semi Déterminé, on définit un automate totalement déterministe, appelé ATPP Déterminé, en remplaçant toute garde de la forme x<=a par une garde de la forme x=a. Le temps d'attente en chaque état est ainsi fixé par la valuation de l'état initial qui remet toutes les horloges à zéro. Nous démontrons que le temps moyen de convergence vers q_end dans l'ATPP Déterminé est égal au temps moyen maximal de convergence dans l'ATPP Semi Déterminé dont il découle. Pour calculer le temps moyen de convergence vers q_end nous construisons à partir de l'ATPP Déterminé un graphe appelé "graphe des macro-steps" qui contient de façon concise l'information nécessaire au calcul du coût moyen de convergence vers q_end. Ce graphe est de taille polynomiale et se construit en temps polynomial. Le calcul du temps moyen de convergence dans le graphe des macro-steps est solution d'un système linéaire, comme dans le cas des chaînes de Markov avec coûts. On résout ce système linéaire en temps polynomial, ce qui permet d'obtenir finalement le temps moyen maximal de convergence vers q_end dans l'ATPP Semi Déterminé. Nous appliquons enfin cette méthode à certains protocoles de communication, notamment BRP (Bounded Retransmission Protocol) et CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection).

Titre traduit

Quantitave and parametric analysis of probabilistic timed automata

Résumé

We focus here on a special class of probabilistic timed automata (PTA), called "Determinate Probabilistic Timed Automata" (DPTA. Such automata are fully probabilistic (no non-determism) : There is a single distribution of outgoing actions per node (no non-determinism of actions). One stays at each location during a specific amount of time (no non-determinism of duration) : for each node s, the guard of the (unique) outgoing action is of the form x=a, where x is a clock variable and a nonnegative constant ; furthermore, node s has x<=a as an invariant. (This means that the outgoing action is always taken when x reaches a). We claim that , often in practice, the worst behavior of a PTA (modeling, e. G. , for IEEE-1394 root contention, CSMA-CD and Philips BRP protocols. We give a method for computing the expected time A for a DPTA to reach the absorbing point. Roughly speaking, the method consists in putting the automaton under the form of a Markov chain with costs (corresponding to durations). The method is parametric in the sense that A is computed as a function of the timing constants, but does not assume known their explicit values. In particular, the complexity of the computation of the expected time is independent from the (maximal) constant(s) bounding the values of the clocks. Another advantage of the method is that the comlexity of the computation is only polynomial in the number of clocks, locations and edges of the original PTA.