Analyse asymptotique et numérique de la diffraction d'ondes par des fils minces

par Xavier Claeys

Thèse de doctorat en Analyse numérique et propagation des ondes

Sous la direction de Patrick Joly.

Soutenue en 2008

à Versailles-St Quentin en Yvelines .

mots clés

• Analyse géométrique asymptotique
• Ondes -- Diffraction
• Helmholtz, Équation d'
• Problèmes aux limites
• Dispositifs à couches minces

Résumé

Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d’ondes dans des milieux comportant des filsminces i. E. Dont l’épaisseur est bien plus petite que la longueur d’onde. En appliquant la méthode des développements raccordés, nous dérivons un développement de la solution de l’équation de Helmholtz en 2D autour d’un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l’une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l’autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d’un objet filiforme dont les pointes sont arrondies ellipsoïdalement. Nous dérivons également unmodèle approché dont l’étude mène à une justification théorique de l’équation de Pocklington dans sa version scalaire.

Titre traduit

Asymptotics and numerical analysis for wave diffraction by thin wires

Résumé

This thesis deals with the propagation of waves in media that comprise thin wires the thick ness of which is much smaller than the wave length. We apply the matched asymptotic expansion method and derive an expansion of the solution to the two dimensional Helmholtz equation around a small obstacle with Dirichlet boundary condition. Then we present a simplified model for this problem involving an averaged boundary condition and analyze two non-standard numerical methods for computing accurately the corresponding solution : the first one is a variation of the singular function method, and the second one is a scalar version of the Holland method. We prove the consistency of both methods in this case. Then we provide comparable results for the 3D Helmholtz problemwith Dirichlet boundary condition on a wire-shaped obstacle with ellipsoïdal tips. We also derive a simplified model in the latter setting and this leads to a justification of a scalar version of the Pocklington equation.