Propriétés stochastiques de systèmes dynamiques et théorèmes limites : deux exemples

par Mikaël Roger

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Jean-Pierre Conze et de Stéphane Le Borgne.

Soutenue en 2008

à Rennes 1 .

mots clés

• Théorèmes des limites (théorie des probabilités)
• Chaos déterministe

Résumé

Ce travail met en jeu plusieurs systèmes dynamiques sur des tores en dimension finie, pour lesquels on sait établir des théorèmes limites, qui permettent de préciser leur comportement stochastique. On généralise d'abord le théorème limite local usuel sur un sous-shift de type fini, en ajoutant un terme de perturbation, en reprenant la preuve classique, par des techniques d'opérateurs. On en déduit un théorème limite local pour les sommes de « Riesz-Raïkov unitaires étendues », et des observables höldériennes. Pour cela, on reprend une méthode employée par Bernard Petit, en utilisant des codages symboliques, et le théorème limite local avec perturbation. Puis, on présente plusieurs situations de composées d'automorphismes hyperboliques du tore en dimension deux pour lesquelles on sait établir un théorème limite central quelque soit le choix de la composée. En particulier, on aborde le cas des matrices à coefficients entiers positifs.

Titre traduit

Stochastic properties of dynamical systems and limit theorems : two examples

Résumé

This work involves several dynamical systems on finite-dimensional torii, for which some limit theorems can be proven, giving information on their stochastic behaviour. We first generalize a standard limit theorem for subshifts of finite type, when adding a perturbation term, by using the classical proof, as well as spectral techniques. We deduce a local limit theorem for « extended unitary Riesz-Raïkov sums » and hölder observables. A method previously developed by Bernard Petit is therefore employed, which uses symbolic codings as well as our perturbed local limit theorem. Then, we give some exemples of automorphisms on the two-dimensional torus, for which a central limit theorem can be proven for every composition product. In particular, the case of matrices with positive integer coefficients is dealt with.