Accélération de la convergence des méthodes de type Newton pour la résolution des systèmes non-linéaires

par Mohammed Ziani

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Bernard Philippe, Rajae Aboulaich et de Frédéric Guyomarch.

Soutenue en 2008

à Rennes 1 en cotutelle avec l'Université Mohammed V-Agdal (Rabat) .

mots clés

• Équations, Systèmes d'
• Systèmes non linéaires
• Newton, Méthode de
• Convergence (mathématiques)
• Traitement d'images -- Techniques numériques

Résumé

Nous proposons d’abord dans cette thèse une nouvelle méthode de type Broyden appelée méthode autoadaptative de Broyden à mémoire limitée. Le point fort de cette méthode est que seules les directions de Broyden nécessaires à la convergence sont stockées. La méthode commence avec une seule direction de Broyden, mais quand une mauvaise convergence est détectée, la dimension du sous-espace d'approximation est automatiquement augmentée. La méthode autoadaptative réduit efficacement le temps de calcul et le coût de stockage. De plus, sous des hypothèses classiques, nous prouvons sa convergence superlinéaire. Nous proposons ensuite la résolution de deux équations aux dérivées partielles non-linéaires. La première application concerne la résolution de modèles non-linéaires en traitement d'images. Dans cette application, la méthode autoadaptative converge mieux que les autres variantes de la méthode de Newton. Dans le cas où le bruit est non-uniforme, les méthodes de type Newton peuvent ne pas converger. Nous appliquons ainsi un préconditionnement non-linéaire au problème. Nous utilisons en particulier le préconditionnement non-linéaire basé sur l'algorithme non-linéaire de Schwarz additif. La deuxième application est sur la résolution d'un problème aux limites non-linéaire modélisant le déplacement d'un pieu enfoncé dans un sol.

Titre traduit

Convergence acceleration of Newton type methods to solve nonlinear systems

Résumé

In this thesis, we propose, on one hand, a new Broyden like method called Broyden autoadaptive limited memory Broyden method. The key point of this method is that only the necessary Broyden directions for the convergence are stored. The method starts with a minimal memory, but when a lack of convergence is detected, the size of the approximation subspace is automatically increased. Unlike classical limited memory methods, its advantage is that it does not require the parameter for the dimension of the approximating subspace. The autoadaptive method reduces efficiently computational time and storage cost. Moreover, under classic assumptions, we prove occurrence of superlinear convergence. On the other hand, we solve two nonlinear partial differential equations which arise in two contexts. The first problem consists in solving nonlinear models in image processing. In that application, the autoadaptive method converges better than the other variants of Newton method. When nonuniform noise is introduced, Newton type methods cannot converge. Actually, nonlinearities of the system are unbalanced. We so apply a nonlinear preconditioner to the problem. We use in particular the nonlinear preconditioner based on the nonlinear additive Schwarz algorithm. The second application concerns the solution of a nonlinear problem modelling the displacement of a pile inserted in a ground.