Algorithmes quantiques dans les groupes nilpotents

par Luc Sanselme

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Miklos Santha.

Soutenue en 2008

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Sous-groupe caché
• Calcul quantique
• Extraspecial
• Groupes nilpotents
• Équations du second degré
• Enregistreurs de vol

Résumé

Dans cette thèse, nous commençons par donner avec précision une définition formelle des groupes boîtes noires, et nous rappelons les principaux algorithmes existant dans ce cadre. Dans un deuxième temps, nous proposons une définition nouvelle d’un groupe boîte noire quantique. Nous formalisons, par ailleurs, précisément cette définition et donnons les principaux algorithmes quantiques connus dans ce cadre. Ensuite, nous donnons un certain nombre d’algorithmes de calcul de théorie algorithmique quantique des groupes dans les groupes résolubles, et dans certaines sous-classes particulières de ces groupes. Enfin, nous présentons un résultat original, démontré au cours de l’élaboration de cette thèse. Nous expliquons comment résoudre efficacement le problème du sous-groupe caché dans les groupes extraspéciaux et nilpotents de classe deux, en calcul quantique. Au passage, nous donnons un certain nombre de réductions du problème du sous-groupe caché, valable dans un groupe nilpotent de classe supérieure. Le dernier chapitre, un peu à part dans cette thèse, explique comment résoudre efficacement un système d’équations quadratiques dans un corps fini, résultat nécessaire pour résoudre le problème du sous-groupe caché dans les groupes nilpotents de classe 2.

Titre traduit

Quantum algorithms in nilpotent groups

Résumé

We start off this Ph. D. Thesis with giving the definition of a black-box group and reminding some algorithm associated with this group representation. Then, we put forward a new definition of a quantum black-box group. We explain precisely this new approach and we enumerate the main algorithms associated to this notion. After that, we give some algorithm of quantum computational group theory in solvable groups and in some subclasses of these solvable groups such as nilpotent groups, p-groups or extraspecial groups. Finally, we present a new result that was proved during this thesis. We show that we can solve efficiently, with a quantum computer, the hidden subgroup problem in extraspecial and nilpotent group of class 2. In addition, we give some reduction of the Hidden subgroup problem in nilpotent groups of higher classes. The last chapter of this thesis shows how to solve some system of quadratic equations over a finite field. This result is needed to solve the Hidden subgroup problem in nilpotent groups of class 2.