Study of self-interacing diffusions

Etude de diffusions auto-agissantes

• Auteur / Autrice : Sébastien Chambeu
• Direction : Olivier Raimond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Recuit simulé (mathématiques)

Mots clés libres

Mesure d'occupation

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'étude de processus stochastiques qui interagissent avec leur passé au travers d'un potentiel V et de leur mesure d'occupation pénalisée par une fonction f : \mu_t=\frac{\int_0^t f(s) \delta_{X_ s} ds}{\int_0^t f(s)}. Dans un premier temps dans un cadre compact, à l'aide de la notion de pseudo trajectoires asymptotiques et de l'étude d'un système dynamique lié à la mesure d'occupation, on donne un résultat général de convergence (notion d'ensemble libre d'attracteur ) de cette mesure sous certaines hypothèses sur f. On s'intéresse ensuite au même type de processus sur R, avec une fonction d'interaction supplémentaire g, solution de l'eds dX_t=dB_t - g(t)\nabla V(X_t-\mu_t) dt. Dans le cas où V est un potentiel quadratique, on donne des conditions pour la convergence de X_t. Puis pour un potentiel linéaire, on montre que le processus est borné p. S. . Enfin dans le cas général on donne l'étude du processus X_t-\mu_t et le lien entre sa limite p. S. (ou en probabilité suivant les cas) et les minima locaux (ou globaux) de V. En particulier lorsque g est logarithmique, on utilise des techniques de "recuit simulé".

In this thesis we will study self interacting diffusions with a potential V and the penalised (by a function f) occupation measure : \mu_t=\frac{\int_0^t f(s) \delta_{X_ s} ds}{\int_0^t f(s)}. In a first time, in a compact case, with asymptotic pseudo trajectories and a dynamical system on the occupation measure, we give a convergence result (with the notion of attracteur free set) when f verifies such conditions. Then we consider the same processus model living on R with an onemore interaction function g which is solution of the stochastic differential equation dX_t=dB_t - g(t)\nabla V(X_t-\mu_t) dt. In the case where V is an quadratic potential we give such hypothesis on g and f for the convergence of X_t. Then for a linear potential, we prove that the processus is a. S. Bounded. Finally, in the general case, we study the process Y_t:=X_t-\mu_t and the connection between the a. S. (or probability) limit of Y_t and the local (or global) minima of V. In particular, when g=\ln(t) we use the simulated annealing theory.