Etude de diffusions auto-agissantes

par Sébastien Chambeu

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Raimond.

Soutenue en 2008

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Mesure d'occupation
• Recuit simulé (mathématiques)
• Processus stochastiques

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'étude de processus stochastiques qui interagissent avec leur passé au travers d'un potentiel V et de leur mesure d'occupation pénalisée par une fonction f : \mu_t=\frac{\int_0^t f(s) \delta_{X_ s} ds}{\int_0^t f(s)}. Dans un premier temps dans un cadre compact, à l'aide de la notion de pseudo trajectoires asymptotiques et de l'étude d'un système dynamique lié à la mesure d'occupation, on donne un résultat général de convergence (notion d'ensemble libre d'attracteur ) de cette mesure sous certaines hypothèses sur f. On s'intéresse ensuite au même type de processus sur R, avec une fonction d'interaction supplémentaire g, solution de l'eds dX_t=dB_t - g(t)\nabla V(X_t-\mu_t) dt. Dans le cas où V est un potentiel quadratique, on donne des conditions pour la convergence de X_t. Puis pour un potentiel linéaire, on montre que le processus est borné p. S. . Enfin dans le cas général on donne l'étude du processus X_t-\mu_t et le lien entre sa limite p. S. (ou en probabilité suivant les cas) et les minima locaux (ou globaux) de V. En particulier lorsque g est logarithmique, on utilise des techniques de "recuit simulé".

Titre traduit

Study of self-interacing diffusions

Résumé

In this thesis we will study self interacting diffusions with a potential V and the penalised (by a function f) occupation measure : \mu_t=\frac{\int_0^t f(s) \delta_{X_ s} ds}{\int_0^t f(s)}. In a first time, in a compact case, with asymptotic pseudo trajectories and a dynamical system on the occupation measure, we give a convergence result (with the notion of attracteur free set) when f verifies such conditions. Then we consider the same processus model living on R with an onemore interaction function g which is solution of the stochastic differential equation dX_t=dB_t - g(t)\nabla V(X_t-\mu_t) dt. In the case where V is an quadratic potential we give such hypothesis on g and f for the convergence of X_t. Then for a linear potential, we prove that the processus is a. S. Bounded. Finally, in the general case, we study the process Y_t:=X_t-\mu_t and the connection between the a. S. (or probability) limit of Y_t and the local (or global) minima of V. In particular, when g=\ln(t) we use the simulated annealing theory.