EDS de cascades avec régimes et à priori de dirichlet

par Adaté Tossa

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Richard Emilion.

Soutenue en 2008

à Paris 9 .

mots clés

• Markov, Processus de
• Processus stochastiques
• Statistique bayésienne
• Dirichlet, Principe de

Résumé

Le cadre mathématique de notre travail est l’estimation statistique Bayésienne de mélanges complexes de lois à partir de données temporelles qui sont supposées suivre localement une équation différentielle stochastique (EDS) en milieu aléatoire. L’EDS considérée a été introduite par Schmitt et Marsan pour modéliser la dissipation d’énergie due à l’évolution de la vitesse du vent en milieu turbulent. Cette EDS appelée ici EDS de cascades, dépend de deux paramètres supposés constants, représentant l’un un facteur d’échelle de la cascade et l’autre un coefficient d’intermittence. Cependant des estimations montrent que ces paramètres changent avec l’environnement. Nous proposons dans cette thèse, une extension aux milieux aléatoires du modèle de l’EDS de cascades, en supposant que ses deux paramètres sont régis par une chaîne de Markov à temps continu dont les états représentent les divers régimes atmosphériques. L’originalité de notre travail consiste à placer, comme loi a priori, un Processus de Dirichlet sur l’espace des trajectoires de la chaîne et à proposer une méthode d’estimation spécifique à cette EDF et à ce nouveau modèle, méthode testée aussi bien sur des données simulées que sur des données réelles. Nous mettons au point un algorithme de type Gibbs sampling adapté aux données temporelles qui classifie sur une même trajectoire les différents états de la chaîne en utilisant notamment un schéma stick-breaking approximant le processus de Dirichlet. Des calculs délicats de lois a posteriori ainsi qu’une majoration de l’erreur d’approximation sont présentés

Titre traduit

Cascade SDE with regimes and dirichlet prior

Résumé

Cascade Stochastic Differential Equation (SDE), a continuous time model for energy dissipation in turbulence, is a generalization of the Yaglom discrete cascade model. We extend this SDE to a model in random environment by assuming that its two parameters are switched by a continuous time Markov chain whose states represent the states of the environment. Moreover, a Dirichlet process is placed as a prior on the space of sample paths of this chain. We propose a Bayesian estimation method of this model which is tested both on simulated data and on real data