Croissance et moyennabilité de certains groupes d'automorphismes d'un arbre enraciné
par Jérémie Brieussel
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Andrzej Zuk.
Soutenue en 2008
à Paris 7 .
mots clés-
Résumé
On étudie le groupe des automorphismes dirigés d'un arbre enraciné. On montre que celui-ci est moyennable ssi la valence de l'arbre est bornée. En utilisant des travaux dûs à Wilson, on construits des groupes à croissance exponentielle non uniforme qui sont moyennables. De tels groupes ne sont pas élémentairement moyennables en vertu d'un résultat dû à Osin, on montre qu'ils ne sont pas même sous-exponentiel lement moyennables. Ces résultats généralisent la construction d'une famille de groupes à croissance intermédiaire due à Grigorchuk. On minore aussi la fonction de croissance d'un exemple classique de tel groupe par la fonction e^(n^a) avec a=0,5207. Par ailleurs, on construit au sein de cette famille des exemples de groupes à croissance oscillante, en particulier dont la fonction de croissance n'est équivalente à e^(n^a) pour aucun réel a.
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Titre traduit
Growth and amenability of some automorphism groups of a rooted tree
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Résumé
The group of directed automorphisms of a rooted tree is shown to be amenable if the valencies of the tree are bounded. Using previous results of Wilson, amenable groups of non uniform exponential growth are constructed. Such groups are not elementary amenable by result of Osin. They are shown not even to be subexponentially amenable. These results generalize the construction of a family of groups of intermediate growth due to Grigorchuk. The growth function of the key exemple of such group is lowered by e^(n^a) with a=0,5207. Moreover, within this family are constructed groups with oscillating growth function, in particular groups the growth function of which is not equivalent to e^(n^a) for any real number a.
