Dualité de Koszul et algèbres de Lie semi-simples en caractéristique positive

par Simon Riche

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Patrick Polo.

Soutenue en 2008

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....) .

mots clés

• Localisation
• Algèbres de Lie
• Groupes algébriques semi-simples
• Caractéristique positive
• Dualité de Koszul
• Groupe de tresses

Résumé

Les travaux de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (pour g l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe, simplement connexe) qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre 2, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine. Dans le chapitre 3, on développe une "dualité de Koszul linéaire" qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique est assez grande. Dans le chapitre 4, on reprend la "dualité de Koszul linéaire", sous une forme différente, valable dans un cadre plus général. Le chapitre 1 donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Titre traduit

Koszul duality and semi-simple Lie algebras in positive characteristic

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