A statistical framework in variational methods of image and video processing problems with high dimensions

• Auteur / Autrice : Sylvain Boltz
• Direction : Michel Barlaud, Éric Debreuve
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique, traitement du signal et des images
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Traitement d'images

Principes variationnels

Traitement d'images -- Techniques numériques

Résumé

Cette thèse aborde le traitement d'images et de vidéos sous l'angle variationnel, c'est-à-dire sous forme d'une énergie dont le minimum est atteint pour la solution. La modélisation adoptée pour formaliser le problème et obtenir ces énergies peut être déterministe ou stochastique. Il est connu que la première approche est équivalente à la classe paramétrique de la seconde. Ce constat nous a amené à faire le choix de la seconde approche a priori plus générale si l'on se débarrasse de l'hypothèse paramétrique. En contrepartie, il s'agit d'être capable d'exprimer et d'estimer une énergie en fonction des données alors interprétées comme des échantillons d'une variable aléatoire. Ce premier obstacle est classiquement surmonté par l'emploi de méthodes à noyau fixe sur des lois marginales, autrement dit, en supposant les canaux de données indépendants entre eux. Or cet obstacle en cache deux autres : l'inhomogénéité de la répartition des échantillons dans leur espace d'appartenance et leur faible densité dans cet espace. Ces difficultés, ainsi que l'hypothèse d'indépendance mentionnée plus haut, sont d'autant plus pénalisantes que le modèle proposé pour les données est de grande dimension (canaux couleur, mais aussi ajouts d'autres canaux pour prendre en compte les structures locales des images). Au fondement d'estimateurs de mesures statistiques telle que l'entropie, l'idée du kième plus proche voisin permet de résoudre les difficultés évoquées en s'adaptant à la densité locale des données, en considérant les canaux conjointement, et ce quelle que soit leur nombre. Dans ce contexte, nous proposons une approche statistique générale inspirée de la théorie de l'information, dédiée aux approches variationnelles car estimant efficacement des énergies en haute dimension, permettant le calcul de leur dérivée et pouvant estimer localement des probabilités. Ce cadre est appliqué aux trois problèmes de traitement d'images ou de vidéos que sont l'estimation de flot optique, le suivi d'objets vidéos et la segmentation. Ce point de vue, en permettant de limiter sinon de s'affranchir du problème de la dimension des données, autorise la définition de nouvelles mesures et lois de probabilités plus adaptées aux images naturelles. Certains travaux en suivi d'objets et en segmentation ont conduit à des implémentations industrielles.

This thesis addresses variational formulation of image and video processing problems. This formulation expresses the solution through a minimization of an energy. These energies can be defined as deterministic or stochastic. It is known that the first approach corresponds to the parametric class of the second one. The second class is then chosen as it is more general when relaxing parametric assumptions. In return, the energy must be expressed as a function of the data considered as random variables. These probabilities are classically estimated with fixed-sized kernels on marginal distributions of the data, assuming the different channels are independent. These methods have two limitations, the inhomogeneous and scarce repartition of the data in the space. These difficulties, as well as the independence assumption are enhanced when the data of the image are high dimensional (color channels, or other channels describing local patterns of natural images). At the foundation of the statistics, the k-th nearest neighbor method can solve these difficulties by locally adapting to the repartition of the data and treating the channels jointly. We propose a general statistical framework based on k-th nearest neighbors and information theory. This new framework is dedicated to variational problems as it efficiently estimates, high dimensional energies, derivates of these energies and local probabilities. This framework is applied to three problems of image and video processing: optical flow, object tracking and segmentation. This framework circumvents the problem of dimensionality and allows us to introduce new measures and probabilities more adapted to natural images. Some results obtained have been applied in an industrial context.