Compactifications de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction

Compactifications of Siegel varieties at bad reduction places

• Auteur / Autrice : Benoît Stroh
• Direction : Alain Genestier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/12/2008
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Elie Cartan de Nancy
• Jury : Président / Présidente : Gérard Laumon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérard Laumon, Alain Genestier, Jörg Wildelhaus, Michaël Rapoport, Laurent Lafforgue
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Chin-Li Chaï, Michaël Rapoport

Mots clés

Mots clés contrôlés

Compactifications

Variétés abéliennes

Mots clés libres

variétés abéliennes, variétés modulaires de Siegel, structures de niveau parahoriques, mauvaise réduction, compactifications toroïdales, compactifications minimales, sous-groupe canonique

Résumé

Dans cette thèse, nous construisons des compactifications des variétés modulaires de Siegel en leurs places de mauvaise réduction de type parahorique. Nous construisons tout d'abord des compactifications toroïdales, qui sont relativement explicites et dont l'on contrôle les singularités. Ces compactifications ne sont pas canoniques, mais dépendent d'un choix combinatoire. L'étape essentielle de la construction est une approximation des variétés abéliennes de Mumford qui préserve un sous-groupe de torsion. Cette approximation nous permet de recoller les différentes cartes locales des compactifications. Nous utilisons ces résultats pour contruire les compactifications minimales, qui sont canoniques, mais moins explicites et plus singulières. Nous donnons comme application une nouvelle preuve de l'existence du sous-groupe canonique pour les variétés abéliennes.

In this thesis, we construct compactifications of Siegel modular varieties at bad reduction places of parahoric type. We first construct the toroidal compactifications, which are quite explicit and whose singularities are controlled. These compactifications are not canonical, but depend on some combinatorial choice. The main point in our construction is an approximation of Mumford degenerating abelian varieties that preserves a torsion subgroup. This allows us to glue together the different local charts of the compactifications. We use these results to construct the minimal compactifications, which are canonical but less explicit and more singular. As an application, we give a new proof of the existence of the canonical subgroup for abelian varieties.