Quelques propriétés des représentations de la super-algèbre de Lie gl(m, n)

Some properties of representations of the Lie superalgebra gl(m,n)

• Auteur / Autrice : François Drouot
• Direction : Caroline Gruson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2008
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Elie Cartan de Nancy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Caroline Gruson, Bernhard Keller, Peter Littelmann, Vera Serganova, Michel Duflo, Guy Rousseau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernhard Keller, Peter Littelmann, Vera Serganova

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes quantiques

Représentations d'algèbres de Lie

Lie, Superalgèbres de

Mots clés libres

Superalgèbres de Lie

Représentations d'algèbres de Lie

Groupes quantiques

Résumé

Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes.

This thesis is a study of finite dimensional representations of the Lie superalgebra gl(m,n). In the first chapter we recall some results on these Lie superalgebra. In the second chapter we study the simple representations of gl(2.2). These modules can be obtained as quotient of some induced modules, the knowledge of the composition series of these modules allow us to compute an explicit finite character forumula for simple modules. In the third chapter we look at representations of a quantum deformation of the universal enveloping algebra of gl(m,n). We first recall the construction of crystal bases for the direct factors of a tensor power of the standard representation. We show by weakening the definition of crystal, that there exist crystal bases for non-semisimple modules, and we give a way to construct them. The fourth chapter focuses on the understanding of the maximaly atypical block of the category of finite dimensional representations of gl(2.2). Knowing the full subcategory of projective maximally atypical modules allows us to reconstruct the category. First, we study the projective indecomposable modules, and we compute their Loewy series. We then study their morphisms. Finally we make a conjecture on the composition of those morphisms.