Construction de la triangulation de Delaunay de segments par un algorithme de flip

par Mathieu Brévilliers

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Dominique Schmitt et de Nicolas Chevallier.

Soutenue en 2008

à Mulhouse .

mots clés

• Géométrie algorithmique
• Triangulation

Résumé

Étant donné un ensemble S de points du plan, une triangulation de S est une décomposition de l'enveloppe convexe de S en triangles dont les sommets sont les points de S. Une triangulation de S est dite de Delaunay si le cercle circonscrit à chaque triangle ne contient aucun point de S en son intérieur. Dans cette thèse, nous étudions une généralisation de ces notions à un ensemble S de segments disjoints du plan. Nous commençons par définir une nouvelle famille de diagrammes, appelés triangulations de segments. Nous étudions leurs propriétés géométriques et topologiques et nous donnons un algorithme pour construire efficacement une telle triangulation. Nous généralisons ensuite la notion de triangulation de Delaunay aux triangulations de segments et nous mettons en évidence la dualité avec le diagramme de Voronoï de segments. Nous étendons également la légalité des arêtes au cas des triangulations de segments en définissant, d'une part, la légalité géométrique qui caractérise la triangulation de Delaunay de segments parmi l'ensemble de toutes les triangulations de segments possibles et, d'autre part, la légalité topologique qui caractérise les triangulations de segments qui ont la même topologie que celle de Delaunay. Enfin, nous décrivons un algorithme de « flip » qui transforme toute triangulation de segments en une triangulation qui a la même topologie que celle de Delaunay. À l'aide de fonctions localement convexes, nous démontrons que la suite de triangulations construites par cet algorithme converge vers celle de Delaunay et nous prouvons qu'une triangulation de segments qui a la même topologie que celle de Delaunay est obtenue après un nombre fini d'étapes.

Titre traduit

Construction of the segment Delaunay triangulation by a flip algorithm

Résumé

Given a set S of points in the plane, a triangulation of S is a partition of the convex hull of S into triangles whose vertices are the points of S. A triangulation of S is said to be Delaunay if no point of S lies inside the triangles' circumcircles. In this thesis, we study a generalization of these notions to a set S of disjoint segments in the plane. At first, we define a new family of diagrams, called segment triangulations. We study their geometric and topologie properties and we give an algorithm that efficiently computer such a triangulation. Then, we generalize the notion of Delaunay triangulation to segment triangulations and we point out that it is dual to the segment Voronoi diagram. We also extend the notion of edge legality to segment triangulations. On the one hand, we define the geometric legality, which characterizes the segment Delaunay triangulation among the set of all possible segment triangulations. On the other hand, we introduce a topologie legality, which characterizes the segment triangulations that have the same topology as the Delaunay one. Finally, we give a "flip" algorithm that transforms any segment triangulation in a triangulation that has the same topology as the Delaunay one. By using locally convex functions, we show that the sequence of triangulations computed by this algorithm converges to the segment Delaunay triangulation. Moreover, we prove that a segment triangulation with the same topology as the Delaunay one is achieved after a finite number of steps.